Квадрат и пересечение отрезков
В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle BKM = 45^\circ$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB = 2\sqrt{10}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В квадрате точки и середины сторон и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке а) Докажите, что б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника если сторона | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Можно ввести координаты вершин квадрата и найти координаты точек $M$, $N$ и $K$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть сторона квадрата равна $a$. При пересечении прямых $CM$ и $DN$ получаются координаты $K\left(\dfrac{4a}{5},\dfrac{3a}{5}\right)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для пункта а) сравните углы наклона векторов $\overrightarrow{KB}$ и $\overrightarrow{KM}$. Для пункта б) найдите стороны и площадь треугольника $ABK$, затем используйте $R=\dfrac{AB\cdot AK\cdot BK}{4S_{ABK}}$.