Трапеция и вписанная окружность
Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=17$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Диагонали равнобедренной трапеции с основаниями и перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону в точке , а окружность с диаметром пересекает основание в точке . Отрезки и пересекаются в точке . а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если , .
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Расположите трапецию в координатной системе и используйте условие перпендикулярности диагоналей.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
При $BC=7$ и $AD=17$ получаются координаты $A\left(-\dfrac{17}{2},0\right)$, $D\left(\dfrac{17}{2},0\right)$, $B\left(-\dfrac{7}{2},12\right)$, $C\left(\dfrac{7}{2},12\right)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Окружность с диаметром $CD$ пересекает прямую $AD$ в точках $N_1=(1,0)$ и $N_2=(11,0)$. Нужно проверить оба варианта: ни один не даёт условие касательного четырёхугольника $ABCP$.