Окружность и параллелограмм
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AE = AK$.
б) Найдите отношение $KE : BD$, если $\angle BAD = 60^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает сторону в точках и и пересекает продолжение а) Докажите, что . б) Найдите отношение , если .
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введём векторы $\vec{AB}=\vec b$ и $\vec{AD}=\vec d$. Как можно записать координаты точек $E$ и $K$ через эти векторы?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для окружности, проходящей через $A$, $B$ и $D$, используйте равенство $\vec x\,^2=\vec l\cdot\vec x$, где $\vec l\cdot\vec b=b^2$ и $\vec l\cdot\vec d=d^2$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получаются параметры $t=1-\dfrac{2\vec b\cdot\vec d}{d^2}$ и $u=1-\dfrac{2\vec b\cdot\vec d}{b^2}$. При $\angle BAD=60^\circ$ выразите $KE$ и $BD$ через $|AB|$ и отношение $|AD|:|AB|$.