Прямоугольный треугольник и пересечения
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Прямая, проходящая через $M$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$, причём $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$. б) Прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Прямая, проходящая через середину гипотенузы прямоугольного треугольника , перпендикулярна и пересекает катет в точке . При этом . а) Докажите, что . б) Пусть прямые и пересекаются в точке , а прямые и в точке . Найдите , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как выразить координаты точек $B$, $C$, $K$ и $M$, если принять $AC$ за ось абсцисс?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Перпендикулярность прямых можно использовать через скалярное произведение направляющих векторов. После этого найдите отношение катетов и примените тангенс угла $BAC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Положите $AK=x$, тогда $KC=2x$, $AC=3x$, а из условия перпендикулярности получается $BC^2=3x^2$. При $BC=\sqrt{21}$ имеем $x=\sqrt7$. В координатах найдите $P$, затем пересечение прямых $AP$ и $BK$.