Решение: Окружность в треугольнике
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC=6\sqrt{3}$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $\angle BAC=120^\circ$ и $\angle BCA=45^\circ$, то $\angle ABC=15^\circ$. Разместим треугольник на координатной плоскости: $C=(0,0)$, $B=(6\sqrt{3},0)$. Луч $CA$ образует с осью абсцисс угол $45^\circ$.
По теореме синусов найдём длину $AC$:
$$AC=\frac{BC\sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}=12\sin 15^\circ=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$Следовательно, координаты точки $A$ имеют вид:
$$A=\left(AC\cos45^\circ,AC\sin45^\circ\right)=\left(3(\sqrt{3}-1),3(\sqrt{3}-1)\right)$$Поскольку $AH$ — высота к стороне $BC$, которая лежит на оси абсцисс, получаем:
$$H=\left(3(\sqrt{3}-1),0\right)$$Координаты середин сторон равны:
$$A_1=(3\sqrt{3},0),\quad B_1=\left(\frac{3(\sqrt{3}-1)}2,\frac{3(\sqrt{3}-1)}2\right),\quad C_1=\left(\frac{3(\sqrt{3}-1)+6\sqrt{3}}2,\frac{3(\sqrt{3}-1)}2\right)$$Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A_1$ и $H$. Её уравнение можно записать в виде $X^2+Y^2-(x_H+x_{A_1})X+EY+x_Hx_{A_1}=0$. Подстановка координат точек $B_1$ и $C_1$ показывает, что для одного и того же значения $E$ обе точки удовлетворяют этому уравнению. Значит, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
Точки $A_1$ и $H$ лежат на оси абсцисс, поэтому расстояние между ними равно разности их абсцисс:
$$A_1H=3\sqrt{3}-3(\sqrt{3}-1)=3$$Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности; $A_1H=3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют угол $ABC$: он равен $15^\circ$, а не $75^\circ$.
Забывают, что высота $AH$ перпендикулярна стороне $BC$.
Ошибаются при вычислении $\sin15^\circ$ или при нахождении координат середины отрезка.
Доказывают существование окружности только для трёх точек, не проверяя принадлежность четвёртой точки.