Решение: Окружность и подобие треугольников
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Решение по шагам
7 шаговТак как точки $A$, $B$, $C_1$ лежат на одной прямой, а точки $A$, $C$, $B_1$ — на другой, угол при вершине $A$ у треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$ общий:
$$\angle BAC=\angle B_1AC_1$$Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность. Углы $ABC$ и $AB_1C_1$ являются равными вписанными углами, опирающимися на одну и ту же хорду. Значит, треугольники подобны по двум углам:
$$\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$$Пусть $S$ — площадь треугольника $AB_1C_1$. По условию площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ равна $8S$. Тогда площадь треугольника $ABC$ равна:
$$S_{ABC}=S+8S=9S$$Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому коэффициент подобия большого треугольника к малому равен:
$$k=\sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}}=\sqrt{9}=3$$Стороны подобных треугольников пропорциональны. Стороне $BC$ соответствует сторона $B_1C_1$, поэтому:
$$BC=3\cdot B_1C_1=3\cdot 6=18$$Сторона $BC$ является хордой данной окружности, а вписанный угол $\angle A=45^\circ$ опирается на эту хорду. Используем формулу хорды:
$$BC=2R\sin\angle A$$Подставим известные значения и найдём радиус:
$$18=2R\sin45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2},\quad R=\frac{18}{\sqrt{2}}=9\sqrt{2}$$BC=18,\quad R=9\sqrt{2}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что площадь треугольника $ABC$ складывается из площади треугольника $AB_1C_1$ и площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
При переходе от отношения площадей к коэффициенту подобия не извлекают квадратный корень.
Используют неверную формулу хорды и не учитывают, что $BC=2R\sin45^\circ$.