Решение: Касательные и диаметр окружности
Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $\angle ANB = 2\angle ABC$.
б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$, если известно, что $AC = 14$ и $AB = 36$.
Решение по шагам
7 шаговРадиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: $OA \perp NA$ и $OB \perp NB$. Поэтому угол между касательными дополняет до $180^\circ$ центральный угол $AOB$:
$$\angle ANB = 180^\circ - \angle AOB$$Так как $BC$ — диаметр, лучи $OB$ и $OC$ являются противоположными. Следовательно, углы $AOB$ и $AOC$ в сумме дают $180^\circ$.
$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOC$$Центральный угол $AOC$ в два раза больше вписанного угла $ABC$, так как оба угла опираются на дугу $AC$.
$$\angle AOC = 2\angle ABC$$Подставляя это равенство, получаем требуемое соотношение:
$$\angle ANB = 180^\circ - (180^\circ - 2\angle ABC) = 2\angle ABC$$Поскольку $BC$ — диаметр окружности, по теореме Фалеса $\angle BAC = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$:
$$\operatorname{ctg}\angle ABC = \frac{AB}{AC} = \frac{36}{14} = \frac{18}{7}$$Касательные из одной точки равны, поэтому $NA = NB$. Треугольник $NAB$ равнобедренный. Опустим из $N$ перпендикуляр $NH$ на прямую $AB$. Тогда $H$ — середина $AB$, а $\angle ANB = 2\angle ABC$, поэтому $\angle ANH = \angle ABC$.
$$AH = \frac{AB}{2} = 18$$Из прямоугольного треугольника $ANH$ найдём расстояние $NH$:
$$NH = AH \cdot \operatorname{ctg}\angle ANH = 18 \cdot \frac{18}{7} = \frac{324}{7}$$\frac{324}{7}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным.
Перепутать центральный и вписанный углы и забыть множитель $2$.
Не применить теорему Фалеса к треугольнику $ABC$.
Вместо расстояния до прямой $AB$ найти длину касательной или высоту с неверным углом.