Ответ: Окружность и подобие треугольников
$B_1C_1=5\sqrt7$, радиус окружности $R=\frac{35\sqrt3}{3}$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=120^\circ$, $BC=10\sqrt{7}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Где здесь ошибаются
Путать площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ с площадью всего треугольника $ABC$.
Использовать коэффициент подобия, равный отношению площадей, вместо квадратного корня из отношения площадей.
Не обосновать равенство сторон $AB$ и $AC$ перед вычислением радиуса.
Применить формулу радиуса описанной окружности треугольника $ABC$, хотя искомая окружность не проходит через точку $A$.