Решение: Трапеция с перпендикулярными диагоналями
Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=23$.
Решение по шагам
9 шаговРассмотрим сначала общий случай с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Из равнобедренности трапеции разместим её вершины так: $A\left(-\dfrac a2,0\right)$, $D\left(\dfrac a2,0\right)$, $B\left(-\dfrac b2,h\right)$, $C\left(\dfrac b2,h\right)$.
Направляющие векторы диагоналей можно взять в виде $\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{a+b}{2},h\right)$ и $\overrightarrow{BD}=\left(\dfrac{a+b}{2},-h\right)$. Их скалярное произведение равно нулю.
$$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-h^2=0$$Следовательно, высота трапеции равна $h=\dfrac{a+b}{2}$. При $a=23$ и $b=7$ получаем $h=15$.
$$h=\dfrac{23+7}{2}=15$$Координаты вершин имеют вид $A\left(-\dfrac{23}{2},0\right)$, $B\left(-\dfrac72,15\right)$, $C\left(\dfrac72,15\right)$, $D\left(\dfrac{23}{2},0\right)$. Так как $N$ лежит на окружности с диаметром $CD$, угол $CND$ прямой. Поскольку $ND$ горизонтален, $CN$ вертикален, поэтому $N\left(\dfrac72,0\right)$.
Точка $M$ лежит на $CD$ и на окружности с диаметром $AD$, поэтому $\angle AMD=90^\circ$. Решение уравнения для точки на стороне $CD$ даёт параметр $t=\dfrac{184}{289}$. После пересечения прямых $AM$ и $CN$ получаем $P\left(\dfrac72,8\right)$.
$$P\left(\dfrac72,8\right)$$Вычислим длины сторон четырёхугольника $ABCP$: $AB=\sqrt{8^2+15^2}=17$, $BC=7$, $CP=15-8=7$, $PA=\sqrt{15^2+8^2}=17$.
$$AB=PA=17,\qquad BC=CP=7$$Поэтому суммы длин противоположных сторон равны: $AB+CP=17+7=24$ и $BC+PA=7+17=24$. Для выпуклого четырёхугольника это является условием существования вписанной окружности. Значит, в $ABCP$ можно вписать окружность.
$$AB+CP=BC+PA$$Площадь четырёхугольника найдём как сумму площадей треугольников $ABP$ и $BCP$. Их основания равны $17$ и $7$, а расстояние от $P$ до прямой $AB$ равно $\dfrac{197}{17}$; либо непосредственно по формуле площади многоугольника получаем $S_{ABCP}=197$.
$$S_{ABCP}=197$$Полупериметр четырёхугольника равен $p=\dfrac{17+7+7+17}{2}=24$. Для описанного четырёхугольника $S=pr$, поэтому радиус вписанной окружности равен $r=\dfrac{197}{24}$.
$$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{197}{24}$$В четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность; её радиус равен $\dfrac{197}{24}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют высоту трапеции из условия перпендикулярности диагоналей.
Путают точку $N$ с точкой $D$, не используя условие прямого угла $\angle CND$.
Проверяют равенство соседних, а не противоположных сторон.
Используют формулу $r=\dfrac{S}{p}$ с периметром вместо полупериметра.