Решение: Высоты и описанная окружность
Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.
а) Докажите, что $\angle BB_1C_1 = \angle BAH$.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1 = 18$ и $\angle BAC = 30^\circ$.
Решение по шагам
6 шаговТак как $BB_1$ и $CC_1$ — высоты, то $BB_1\perp AC$ и $CC_1\perp AB$. Следовательно, $\angle BB_1C=\angle BC_1C=90^\circ$, поэтому точки $B$, $B_1$, $C_1$, $C$ лежат на одной окружности с диаметром $BC$.
$$B,B_1,C_1,C\text{ — точки окружности с диаметром }BC$$В этой окружности вписанные углы, опирающиеся на хорду $BC_1$, равны: $\angle BB_1C_1=\angle BC C_1$. Поскольку $CC_1\perp AB$, угол между $BC$ и $CC_1$ равен $90^\circ-\angle ABC$.
$$\angle BB_1C_1=90^\circ-\angle ABC$$Так как $AH\perp BC$, угол между $AB$ и $AH$ также равен $90^\circ-\angle ABC$. Значит, $\angle BB_1C_1=\angle BAH$, что и требовалось доказать.
$$\angle BAH=90^\circ-\angle ABC=\angle BB_1C_1$$Поскольку $AB_1\perp B_1H$ и $AC_1\perp C_1H$, точки $A$, $B_1$, $H$, $C_1$ лежат на окружности с диаметром $AH$. Хорда $B_1C_1$ этой окружности стягивает вписанный угол $\angle B_1AC_1=\angle BAC=A$.
$$B_1C_1=AH\sin A$$Для остроугольного треугольника расстояние от вершины $A$ до ортоцентра равно $AH=2R\cos A$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
$$B_1C_1=2R\sin A\cos A=R\sin 2A$$При $A=30^\circ$ получаем $B_1C_1=R\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}R$. Расстояние $d$ от центра описанной окружности до хорды $BC$ равно $R\cos A=\dfrac{\sqrt3}{2}R$. Следовательно, $d=B_1C_1=18$.
$$d=R\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R=18$$Расстояние от центра описанной окружности до стороны $BC$ равно $18$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют окружности, на которых лежат точки $B$, $B_1$, $C_1$, $C$ и $A$, $B_1$, $H$, $C_1$.
Путают расстояние от центра окружности до хорды с радиусом.
Используют формулу $AH=2R\sin A$ вместо верной формулы $AH=2R\cos A$.