Решение: Трапеция и расстояние до диагонали
В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD = 15$ и $AC = 2\sqrt{61}$.
Решение по шагам
6 шаговПусть $CH$ — высота трапеции, а $BE$ — высота, проведённая из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции прямоугольные треугольники $AEB$ и $DCH$ равны, поэтому $AE=HD$. Кроме того, $ED=BC$ и $AH=AE+EH=AE+BC$.
Обозначим боковые отрезки, отсекаемые высотами, через $x$. Тогда $AD=x+BC+x$, то есть $AD=BC+2x$. Поскольку $AD=3BC$, имеем $3BC=BC+2x$, откуда $x=BC$. Следовательно, $AH=2BC$, а $HD=BC$, поэтому $AH=2HD$.
Из условия $AD=15$ и $AD=3BC$ получаем $BC=5$. Поэтому $AH=10$, $HD=5$.
В прямоугольном треугольнике $AHC$ по теореме Пифагора найдём высоту:
$$CH^2=AC^2-AH^2=(2\sqrt{61})^2-10^2=244-100=144,\quad CH=12$$Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(15,0)$, $C=(10,12)$, $B=(5,12)$. Середина диагонали $BD$ имеет координаты:
$$M\left(\frac{5+15}{2},\frac{12+0}{2}\right)=(10,6)$$Точка $C$ имеет ту же абсциссу, что и точка $M$, поэтому отрезок $CM$ вертикален, а его длина равна разности ординат:
$$CM=12-6=6$$а) $AH=2HD$; б) расстояние от $C$ до середины диагонали $BD$ равно $6$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать, что высота делит большее основание пополам.
Забыть, что в равнобедренной трапеции боковые отрезки, отсекаемые высотами, равны.
Использовать длину диагонали $BD$ вместо расстояния от $C$ до её середины.
Потерять множитель $2$ при возведении $AC=2\sqrt{61}$ в квадрат.