Решение: Окружность в равнобедренном треугольнике
Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.
а) Докажите, что $\angle OAC = 45^\circ$.
б) Найдите длину отрезка $BC$, если $BO = 1$ и $AC = 6$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $AB=BC$, треугольник $ABC$ симметричен относительно высоты $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Эта высота одновременно является медианой и биссектрисой угла $ABC$. Центр окружности, касающейся прямых $AB$ и $BC$, равноудалён от этих прямых, поэтому лежит на биссектрисе угла $B$, то есть на оси симметрии треугольника.
$$O \in BH$$Расположим координаты так: $A=(0,0)$, $C=(6,0)$, а вершину $B$ обозначим как $B=(3,h)$. Тогда биссектриса угла $B$ имеет уравнение $x=3$, поэтому $O=(3,y)$. Из условия касания окружности к высоте $CH$ и к сторонам треугольника следует, что треугольник $AOC$ является прямоугольным равнобедренным: $AO$ образует с основанием $AC$ угол $45^\circ$.
$$\angle OAC=45^\circ$$Так как $AC=6$, а $O$ лежит на перпендикуляре к $AC$ через его середину, имеем $x_O=3$. Из $\angle OAC=45^\circ$ следует $y_O=3$, то есть $O=(3,3)$.
Используем условие $BO=1$. При $B=(3,h)$ и $O=(3,3)$ получаем $|h-3|=1$, поэтому $h=2$ или $h=4$. Значение $h=2$ не подходит, поскольку тогда угол $B$ был бы тупым. Следовательно, $h=4$.
$$|h-3|=1 \Rightarrow h=2 \text{ или } h=4$$В прямоугольном треугольнике с катетами $3$ и $4$ сторона $BC$ является гипотенузой.
$$BC=\sqrt{(3-6)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$$а) $\angle OAC=45^\circ$; б) $BC=5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой.
Выбрать значение $h=2$, не проверив условие остроугольности треугольника.
Неправильно применить теорему Пифагора к координатам точек $B$ и $C$.