Окружности и стороны треугольника
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что $AP = BP$. б) Найдите длину стороны $BC$, если $AB = 7$, $AC = 4$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В остроугольном треугольнике угол в два раза больше угла Точка — центр окружности, описанной около треугольника Окружность, описанная около треугольника пересекает отрезок в точках и а) Докажите, что б) Найдите длину стороны если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте угол $ABC$ через $\alpha$. Выразите через $\alpha$ углы $BAC$ и $ACB$, а затем рассмотрите вписанные и центральный углы, опирающиеся на дугу $AC$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как точки $A$, $O$, $C$, $P$ лежат на одной окружности, угол $APC$ связан с углом $AOC$. Кроме того, $\angle AOC = 2\angle ABC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите $\angle BAP = \angle ABP$, откуда $AP = BP$. Для пункта б) используйте теорему синусов и равенство $\angle BAC = 2\angle ABC$.