Параллелограмм и окружность

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИ73BE23Развёрнутое решение≈ 15 минут

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$, а сторону $CD$ — в точках $K$ и $D$.

а) Докажите, что $AE = AK$.
б) Найдите $AD$, если $CE = 10$, $DK = 9$ и $\cos \angle BAD = 0{,}2$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

Окружность проходит через вершины $A$ , $B$ и $D$ параллелограмма $A B C D$ , пересекает сторону $B C$ в точках $B$ и $E$ и пересекает сторону $C D$
в точках $K$ и $D$ .

а) Докажите, что $A E = A K$ .

б) Найдите $A D$ , если $C E = 10$ , $D K = 9$ и $\cos ∠ B A D = 0,2$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Для доказательства сравните треугольники, используя вписанные углы и параллельность противоположных сторон параллелограмма.

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Для пункта б примените теорему о степени точки $C$: $CB \cdot CE = CD \cdot CK$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Обозначьте $AB=x$, $AD=y$. Тогда $CB=y$, $CD=x$, $CK=x-9$, поэтому $10y=x(x-9)$. Используйте также равенство $AE=AK$, теорему косинусов и $\cos \angle BAD=0{,}2$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяВысоты и радиус описанной окружностиСледующаяРомб и перпендикуляр

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль