Ромб и перпендикулярная прямая
Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$. а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$. б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке причём а) Докажите, что прямая делит сторону ромба в отношении б) Найдите сторону ромба, если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выразите координаты точек $M$ и $N$ через векторы сторон ромба и найдите точку пересечения прямой $MN$ со стороной $BC$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть $\vec{BA}=\vec a$, $\vec{BC}=\vec c$. Тогда $|\vec a|=|\vec c|$, а из условия перпендикулярности получите скалярное произведение $\vec a\cdot\vec c$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $B=0$, $A=\vec a$, $C=\vec c$, $D=\vec a+\vec c$ имеем $M=\frac{2\vec a+\vec c}{3}$ и $N=\frac{\vec a+\vec c}{4}$. Пересечение $MN$ со стороной $BC$ равно $\frac15\vec c$, поэтому $BP:PC=1:4$.