Треугольник и вписанная окружность
Периметр треугольника $ABC$ равен $36$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что $AC = 9$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle ACB = 90^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Периметр треугольника равен 36. Точки и — середины сторон и соответственно. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник а) Докажите, что б) Найдите площадь треугольника если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны отрезок $EF$ и сторона $AC$? На каком расстоянии от $AC$ находится прямая $EF$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть $h$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$, а $r$ — радиус вписанной окружности. Используйте тот факт, что расстояние от центра окружности до касательной равно $r$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $EF$ — средняя линия, расстояние между $AC$ и $EF$ равно $h/2$. Из условия касания следует $h/2-r=r$, то есть $h=4r$. Сравните формулы $S=\frac12 AC\cdot h$ и $S=pr$, где $p=18$.