Высоты и площади треугольников

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИ0063EDРазвёрнутое решение≈ 15 минут

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В остроугольном треугольнике $A B C$ высоты $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются
в точке $H$ . Через точку $C_{1}$ параллельно высоте $B B_{1}$ проведена прямая, пересекающая высоту $A A_{1}$ в точке $K .$

а) Докажите, что $A B \cdot K H = B C \cdot C_{1} H .$

б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1} H K$ и $A B C,$ если $A B = 6,$ $B C = 4,$ $A C = 5.$

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Какие углы равны из-за параллельности $C_1K$ и $BB_1$, а какие треугольники можно считать подобными?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Для пункта а) выразите отношение $KH:C_1H$ через отношение сторон $BC:AB$. Для пункта б) удобно ввести координаты, взяв $AB$ за ось абсцисс.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

При $AB=6$, $BC=4$, $AC=5$ можно получить $C_1H=\dfrac{2\sqrt7}{7}$ и $KH=\dfrac{5}{12}$. Тогда $\dfrac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{63}$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяБиссектриса и площади фигурСледующаяТрапеция и биссектриса

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль