Хорды и высота трапеции
Окружность с центром в точке $O$ высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK = 15$, $KL = 6$, $LB = 5$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружность с центром в точке высекает на всех сторонах трапеции равные хорды. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Что можно сказать о расстояниях от центра окружности до прямых, содержащих равные хорды?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Расстояние от центра окружности до каждой стороны одинаково, поэтому точка $O$ равноудалена от сторон каждого угла трапеции. Используйте свойство биссектрисы угла.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
На стороне $AB$ имеем $AB = 15 + 6 + 5 = 26$. Середина хорды $KL$ находится на расстоянии $18$ от $A$ и на расстоянии $8$ от $B$. Если $d$ — расстояние от $O$ до стороны $AB$, то из дополнительных углов трапеции: $18d^{-1}$ и $8d^{-1}$ являются взаимно обратными величинами, откуда $d^2 = 18 \cdot 8 = 144$. Высота равна $2d$.