Решение: Хорды и высота трапеции
Окружность с центром в точке $O$ высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK = 15$, $KL = 6$, $LB = 5$.
Решение по шагам
7 шаговРавные хорды одной окружности находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Поэтому расстояния от точки $O$ до всех четырёх прямых, содержащих стороны трапеции, одинаковы. Обозначим это расстояние через $d$.
Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на одной из его биссектрис. Так как центр $O$ находится внутри трапеции, он лежит на внутренних биссектрисах всех её углов. Следовательно, все биссектрисы углов трапеции пересекаются в точке $O$.
Длина боковой стороны равна $AB = AK + KL + LB = 15 + 6 + 5 = 26$. Середина хорды $KL$ находится на расстоянии $AK + \frac{KL}{2} = 15 + 3 = 18$ от точки $A$ и на расстоянии $LB + \frac{KL}{2} = 5 + 3 = 8$ от точки $B$.
Пусть углы трапеции при вершинах $A$ и $B$ равны $\alpha$ и $\beta$. Так как основания трапеции параллельны, $\alpha + \beta = 180^\circ$, поэтому $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ$.
Перпендикулярная проекция центра $O$ на сторону $AB$ совпадает с серединой хорды $KL$. Поэтому из прямоугольных треугольников у вершин $A$ и $B$ получаем $18 = d\cot\frac{\alpha}{2}$ и $8 = d\cot\frac{\beta}{2}$. Поскольку половины углов в сумме дают $90^\circ$, $\cot\frac{\beta}{2} = \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\cot\frac{\alpha}{2}}$.
Следовательно, $8 = d\cdot\frac{d}{18}$, откуда $d^2 = 18\cdot 8 = 144$ и $d = 12$.
Основания трапеции находятся по разные стороны от точки $O$, и расстояние от $O$ до каждого основания равно $d$. Поэтому высота трапеции равна $h = d + d = 2d = 24$.
Высота трапеции равна $24$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что равные хорды должны иметь общую середину.
Использовать расстояния $15$ и $5$ вместо расстояний от концов стороны до середины хорды: $18$ и $8$.
Забыть, что высота трапеции равна сумме расстояний от центра до двух параллельных оснований.
Не обосновать, почему центр окружности лежит именно на биссектрисах углов.