Площадь выпуклого четырёхугольника
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4$. Радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника в отношении , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, , угол PWQ острый. а) Докажите, что треугольник прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны сторона треугольника и противолежащий угол через радиус описанной окружности?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
По теореме синусов $PQ=2R\sin\angle PWQ$. После нахождения угла используйте теорему косинусов для вычисления $PW$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается треугольник со сторонами $12$, $16$, $20$, поэтому он прямоугольный. Используя отношения деления сторон, выразите площадь $PQW$ через площадь $ABCD$: $S_{PQW}=\dfrac{12}{49}S_{ABCD}$.