Ответ: Ромб и перпендикулярная прямая
Прямая $MN$ делит сторону $BC$ в отношении $1:4$; сторона ромба равна $6$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$. а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$. б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}$.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать отношения $AM:MC$ и $BN:ND$ при записи координат точек $M$ и $N$.
Забыть, что в ромбе длины векторов соседних сторон равны.
Неправильно определить, какая часть стороны соответствует отрезкам $BP$ и $PC$.
Не учесть условие $MN\perp BC$ при вычислении скалярного произведения.