Решение: Окружности и параллельные хорды
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен $34$, а $BC=32$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим центр большей окружности через $O$, а центр меньшей — через $S$. Так как меньшая окружность проходит через $O$, $OS$ равен радиусу меньшей окружности. При внутреннем касании $OS=R-r$, поэтому $r=R/2$.
Рассмотрим точку $B$ на большей окружности. Пусть $AB=c$, а $AK=x$. Из теоремы косинусов для треугольника $AOB$ с учётом $OA=OB=R$ получаем $AB^2=2R(R-OB_x)$ в координатной записи с осью $OA$. Подстановка в уравнение меньшей окружности даёт $AK=AB/2$. Аналогично $AM=AC/2$.
Следовательно, $K$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. По теореме о средней линии треугольника $KM\parallel BC$.
Гомотетия с центром $A$ и коэффициентом $1/2$ переводит $BC$ в $KM$. Поэтому точка пересечения $L$ отрезков $KM$ и $AP$ является образом точки $P$, то есть $L$ — середина отрезка $AP$. Следовательно, $AL=AP/2$.
Расстояние от центра $O$ до хорды $BC$ равно $d=\sqrt{R^2-(BC/2)^2}=\sqrt{34^2-16^2}=30$.
Радиус меньшей окружности равен $17$. Расстояние между центрами окружностей также равно $17$. Так как $BC$ касается меньшей окружности, расстояние от центра меньшей окружности $S$ до прямой $BC$ равно $17$. Из положения центров и хорды получаем координаты точки касания $P$; при выборе оси $Ox$ вдоль $OA$ можно взять $A=(34,0)$ и $P=(30,2\sqrt{30})$.
Тогда $AP=\sqrt{(34-30)^2+(2\sqrt{30})^2}=\sqrt{16+120}=2\sqrt{34}$.
Поскольку $L$ — середина $AP$, имеем $AL=\dfrac{AP}{2}=\sqrt{34}$.
а) $KM\parallel BC$. б) $AL=\sqrt{34}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не доказать, что $K$ и $M$ являются серединами $AB$ и $AC$.
Ошибочно считать, что $L$ — середина $KM$, а не отрезка $AP$.
Неверно вычислить расстояние от центра окружности до хорды.
Забыть, что радиус меньшей окружности равен половине радиуса большей.