Решение: Площадь четырёхугольника ABCD
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$. Радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Решение по шагам
7 шаговРадиус описанной окружности треугольника $PQW$ равен $10$, поэтому её диаметр равен $20$.
Проверим длину третьей стороны по теореме Пифагора:
$$PQ^2+QW^2=16^2+12^2=256+144=400=20^2$$Так как сторона $PW=20$ равна диаметру описанной окружности, угол $PQW$, опирающийся на диаметр, прямой по теореме Фалеса. Следовательно, треугольник $PQW$ прямоугольный.
Выберем координаты $P=(0,0)$, $Q=(16,0)$, $W=(16,12)$. Пусть $B=(x,y)$. Из отношений деления сторон получаем:
$$A=5P-4B=(-4x,-4y),\quad C=5Q-4B=(80-4x,-4y),\quad D=\frac{5W-C}{4}=(x,y+15)$$По формуле площади многоугольника через координаты:
$$2S_{ABCD}=\left|[A,B]+[B,C]+[C,D]+[D,A]\right|=1200$$Следовательно, площадь четырёхугольника равна:
$$S_{ABCD}=\frac{1200}{2}=600$$Также площадь треугольника $PQW$ равна $96$, поэтому полученный результат согласуется с соотношением $S_{ABCD}=\frac{25}{4}S_{PQW}$.
а) Треугольник $PQW$ прямоугольный, причём угол $PQW=90^\circ$. б) $S_{ABCD}=600$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать прямым угол $PWQ$, хотя сторона $PW$ является диаметром описанной окружности и прямым является угол $PQW$.
Неверно выразить координаты точек $A$, $C$ или $D$ из отношений $1:4$.
Забыть разделить удвоенную площадь, полученную по формуле координат, на $2$.