Решение: Окружность и точки на сторонах
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $L$.
а) Докажите, что $AB+BC=4AC$. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $ML=\dfrac{9}{5}$, $LN=3$.
Решение по шагам
13 шаговОбозначим $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$, $CA$ делят их на отрезки с длинами $x$, $y$, $z$, где $x$ — касательная длина от вершины $A$, $y$ — от вершины $B$, $z$ — от вершины $C$. Тогда
$$c=x+y,\qquad a=y+z,\qquad b=x+z$$Рассмотрим координаты точек $M$ и $N$ в барицентрической системе относительно треугольника $ABC$. Из отношений $AM:MB=2:3$ и $CN:NB=2:3$ получаем
$$M=\left(\frac35,\frac25,0\right),\qquad N=\left(0,\frac35,\frac25\right)$$Уравнение прямой $MN$ в барицентрических координатах имеет вид
$$4u-6v+9w=0$$Внутренний центр вписанной окружности имеет барицентрические координаты $(a:b:c)$. Условие касания прямой $MN$ к вписанной окружности приводит к равенству
$$2y=3(x+z)$$Так как $b=x+z$, получаем $2y=3b$. Следовательно, $y=\frac{3b}{2}$. Тогда
$$a+c=(y+z)+(x+y)=x+2y+z=(x+z)+2y=b+3b=4b$$Поскольку $b=AC$, $a=BC$, $c=AB$, доказано утверждение пункта а):
$$AB+BC=4AC$$Из равенства $2y=3(x+z)$ и $b=x+z$ следует $2y-3x=3z$, а также $2y-3z=3x$. Так как $AM=\frac{2c}{5}=\frac{2(x+y)}5$, расстояние от $M$ до точки касания на $AB$ равно
$$ML=\left|AM-x\right|=\left|\frac{2(x+y)}5-x\right|=\frac{|2y-3x|}{5}=\frac{3z}{5}$$Используя $ML=\frac95$, находим
$$\frac{3z}{5}=\frac95\quad\Longrightarrow\quad z=3$$Аналогично, поскольку $CN=\frac{2a}{5}=\frac{2(y+z)}5$, получаем
$$LN=\left|CN-z\right|=\frac{|2y-3z|}{5}=\frac{3x}{5}$$Из условия $LN=3$ следует
$$\frac{3x}{5}=3\quad\Longrightarrow\quad x=5$$Так как $2y=3(x+z)$, имеем
$$2y=3(5+3)=24\quad\Longrightarrow\quad y=12$$Полупериметр треугольника равен $s=x+y+z=20$. Площадь треугольника по формуле Герона:
$$S=\sqrt{sxyz}=\sqrt{20\cdot5\cdot12\cdot3}=60$$Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру:
$$r=\frac{S}{s}=\frac{60}{20}=3$$а) $AB+BC=4AC$; б) $r=3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно сопоставляют касательные длины $x$, $y$, $z$ сторонам треугольника.
Забывают, что из одной точки к окружности длины касательных равны.
Используют формулу Герона с периметром вместо полупериметра.
Не учитывают, что $s=x+y+z$ и $S^2=sxyz$ для треугольника, заданного касательными длинами.