Решение: Геометрия треугольника ABC
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30^\circ$, отрезки $AH$ и $AM$ — высота и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM$. Отрезок $MQ$ — высота треугольника $AMC$, а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F$. Известно, что луч $AM$ — биссектриса угла $CAH$.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника $CMF$, если $AB=8$.
Решение по шагам
11 шаговВведём координатную систему: пусть $H=(0,0)$, $A=(0,a)$, а прямая $BC$ является осью абсцисс. Так как $\angle ACB=30^\circ$, в прямоугольном треугольнике $ACH$ имеем
$$CH=\frac{AH}{\tan 30^\circ}=\sqrt{3}a$$Следовательно, $C=(\sqrt{3}a,0)$. Единичный вектор луча $AC$ равен $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac12\right)$, а единичный вектор луча $AH$ равен $(0,-1)$. Поскольку $AM$ — биссектриса угла $CAH$, её направление совпадает с суммой этих векторов:
$$\left(\frac{\sqrt{3}}2,-\frac12\right)+(0,-1)=\left(\frac{\sqrt{3}}2,-\frac32\right)$$Прямая $AM$ пересекает ось абсцисс в точке $M$, поэтому из найденного направления получаем $M=\left(\frac{a}{\sqrt{3}},0\right)$.
Точка $M$ — середина $BC$. Поэтому координата точки $B$ симметрична координате точки $C$ относительно $M$:
$$x_B=2x_M-x_C=\frac{2a}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}a=-\frac{a}{\sqrt{3}}$$Таким образом, $B=\left(-\frac{a}{\sqrt{3}},0\right)$. Найдём длины векторов $AB$ и $AC$:
$$\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{a}{\sqrt{3}},-a\right),\quad \overrightarrow{AC}=(\sqrt{3}a,-a)$$Их скалярное произведение равно нулю:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-a^2+a^2=0$$Следовательно, $AB\perp AC$, поэтому треугольник $ABC$ прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине $A$.
Из условия $AB=8$ найдём параметр $a$:
$$AB=\sqrt{\frac{a^2}{3}+a^2}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=8,\quad a=4\sqrt{3}$$Тогда $M=(4,0)$, $C=(12,0)$, $A=(0,4\sqrt{3})$. Наклон прямой $AC$ равен $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому высота $MQ$, перпендикулярная $AC$, имеет наклон $\sqrt{3}$. Её уравнение:
$$y=\sqrt{3}(x-4)$$Прямая $AH$ задаётся уравнением $x=0$. Поэтому точка их пересечения $F$ имеет координаты:
$$F=(0,-4\sqrt{3})$$Основание треугольника $CMF$ равно $CM=12-4=8$, а расстояние от $F$ до прямой $CM$ равно $4\sqrt{3}$. Следовательно,
$$S_{CMF}=\frac12\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$$Треугольник $ABC$ прямоугольный при вершине $A$; площадь $S_{CMF}=16\sqrt{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно выбирать направление биссектрисы и использовать разность единичных векторов вместо их суммы.
Забывать, что точка $M$ является серединой отрезка $BC$.
При вычислении площади брать в качестве высоты длину $AF$ вместо расстояния от $F$ до прямой $CM$.