Решение: Трапеция и пересечение диагоналей
В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC = 16$ и $AB = 10$.
Решение по шагам
5 шаговПоскольку трапеция равнобедренная, перпендикуляры из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$ отсекают по краям равные отрезки. Обозначим каждый из них через $x$.
$$AH = KD = x$$Из разности оснований получаем $2x = AD - BC$. По условию $AD = 2BC$, поэтому $2x = BC$, то есть $x = \dfrac{BC}{2}$. Следовательно, $HD = \dfrac{BC}{2}$, а $AH = AD - HD = 2BC - \dfrac{BC}{2} = \dfrac{3BC}{2}$.
$$AH:HD = \dfrac{3BC}{2}:\dfrac{BC}{2} = 3:1$$Для пункта б) имеем $BC = 16$, $AD = 32$. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна $(32 - 16)/2 = 8$. Поэтому высота трапеции равна:
$$CH = \sqrt{AB^2 - 8^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$$Введём координаты: $D(0,0)$, $C(8,6)$, $B(24,6)$, $A(32,0)$. Точка пересечения диагоналей имеет координаты $O(20,3)$, что также следует из подобия треугольников: она делит диагональ $AC$ в отношении оснований $AD:BC = 2:1$.
Пусть $M$ — середина отрезка $OD$. Тогда $M(10,1{,}5)$. Расстояние от $C$ до $M$ равно:
$$CM = \sqrt{(10-8)^2 + (1{,}5-6)^2} = \sqrt{4 + 20{,}25} = \sqrt{24{,}25} = \dfrac{\sqrt{97}}{2}$$а) $AH:HD = 3:1$. б) Расстояние от $C$ до середины отрезка $OD$ равно $\dfrac{\sqrt{97}}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать боковые проекции равными половине большего основания.
Использовать длину боковой стороны как высоту трапеции.
Неправильно определить отношение, в котором точка пересечения диагоналей делит диагональ.
Забыть, что требуется найти расстояние до середины отрезка $OD$, а не до точки $O$.