Решение: Окружность и параллелограмм
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает продолжение стороны $AD$ за точкой $D$ в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точкой $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $BK = BE$.
б) Найдите отношение $KE : AC$, если $\angle BAD = 30^\circ$.
Решение по шагам
10 шаговПусть $AB=a$, $AD=b$, $\angle BAD=\alpha$. Введём векторы $\vec u=\overrightarrow{AB}$ и $\vec v=\overrightarrow{AD}$. Тогда $|\vec u|=a$, $|\vec v|=b$, а $\vec u\cdot\vec v=ab\cos\alpha$.
Возьмём начало координат в точке $D$, направив оси вдоль $DC$ и $DA$. В этих координатах точки $D,A,C,B$ имеют соответственно координаты $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(1,1)$ с учётом базисных векторов $\vec u$ и $\vec v$. Уравнение окружности имеет вид $|x\vec u+y\vec v|^2+\vec l\cdot(x\vec u+y\vec v)+q=0$.
Подстановка точек $A$, $B$ и $C$ в уравнение окружности даёт $q=-2\vec u\cdot\vec v$. Поэтому второй корень на прямой $DA$ и второй корень на прямой $DC$ определяются произведением корней:
$$DE=\frac{2ab\cos\alpha}{b},\qquad DK=\frac{2ab\cos\alpha}{a}$$Обозначим $DE=x=2a\cos\alpha$ и $DK=y=2b\cos\alpha$. Тогда по теореме косинусов:
$$BE^2=a^2+(b+x)^2+2a(b+x)\cos\alpha$$Аналогично:
$$BK^2=b^2+(a+y)^2+2b(a+y)\cos\alpha$$Подставляя $x=2a\cos\alpha$ и $y=2b\cos\alpha$, в обоих выражениях получаем одну и ту же величину:
$$BE^2=BK^2=a^2+b^2+4ab\cos\alpha+4(a^2+b^2)\cos^2\alpha$$Следовательно, $BK=BE$, что доказывает пункт а).
Для пункта б) рассмотрим треугольник $KDE$. Его стороны $DK=2b\cos\alpha$ и $DE=2a\cos\alpha$, а угол между ними равен $\alpha$. Поэтому:
$$KE^2=4\cos^2\alpha\,(a^2+b^2-2ab\cos\alpha)$$Диагональ $AC$ параллелограмма удовлетворяет равенству:
$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$$При $\alpha=30^\circ$ имеем $4\cos^2 30^\circ=3$. Следовательно:
$$KE^2=3AC^2$$$BK=BE$; при $\angle BAD=30^\circ$ отношение $KE:AC=\sqrt{3}:1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют направления продолжений сторон $AD$ и $CD$ за точку $D$.
Используют в формуле косинусов угол $180^\circ-\angle BAD$ без изменения знака.
Забывают извлечь квадратный корень из равенства $KE^2=3AC^2$.