Ответ: Окружность и подобие треугольников
B_1C_1=5; радиус окружности R\approx15{,}71.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=150^\circ$, $BC=5\sqrt{5}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Где здесь ошибаются
Используют отношение площадей как отношение сходственных сторон, забывая возвести коэффициент подобия в квадрат.
Путают точки $B_1$ и $C_1$ при установлении соответствия сторон.
При вычислении радиуса берут радиус описанной окружности треугольника $ABC$, хотя искомая окружность не проходит через точку $A$.