Решение: Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=8$. Известно, что $AB=BC=CD=12$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.
Решение по шагам
6 шаговРавные хорды одной окружности стягивают равные дуги. Поэтому дуги $AB$, $BC$ и $CD$ равны. Обозначим соответствующий им центральный угол через $\alpha$.
Середина дуги $BC$ и середина меньшей дуги $AD$, проходящей через $B$ и $C$, находятся на одном радиусе, так как каждая из этих дуг имеет середину в одной и той же точке окружности между концами соответствующих хорд. Радиус, проведённый к середине дуги, перпендикулярен хорде. Следовательно, один и тот же радиус перпендикулярен хордам $BC$ и $AD$, поэтому $BC\parallel AD$.
Из формулы длины хорды $AB=2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$ получаем:
$$12=2\cdot 8\sin\frac{\alpha}{2},\qquad \sin\frac{\alpha}{2}=\frac34$$Хорда $AD$ стягивает дугу, состоящую из трёх равных дуг, поэтому:
$$AD=2R\sin\frac{3\alpha}{2}=16\sin\left(3\cdot\frac{\alpha}{2}\right)$$Положим $x=\dfrac{\alpha}{2}$. Тогда:
$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x=3\cdot\frac34-4\cdot\left(\frac34\right)^3=\frac{9}{16}$$Следовательно:
$$AD=16\cdot\frac{9}{16}=9$$а) $BC\parallel AD$; б) $AD=9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать центральный угол, соответствующий хорде, с вписанным углом.
Использовать для хорды $AD$ угол $\alpha$, хотя она стягивает дугу, состоящую из трёх равных дуг.
Забыть, что радиус к середине дуги перпендикулярен соответствующей хорде.
Неверно применить формулу тройного угла $\sin 3x$.