Центры касающихся окружностей

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИ7EEB3EРазвёрнутое решение≈ 15 минут

Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB=10$, $BC=9$, $CD=30$, $AD=39$.

а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите $O_1O_2$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

Окружность с центром $O_{1}$ касается оснований $B C$ и $A D$ и боковой стороны $A B$ трапеции $A B C D$ . Окружность с центром $O_{2}$ касается сторон $B C$ , $C D$ и $A D$ . Известно, что $A B = 10$ , $B C = 9$ , $C D = 30$ , $A D = 39$ .

а) Докажите, что прямая $O_{1} O_{2}$ параллельна основаниям трапеции $A B C D$ .

б) Найдите $O_{1} O_{2}$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Что можно сказать о расстояниях от центров окружностей до параллельных прямых $AD$ и $BC$?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Оба центра равноудалены от оснований трапеции, поэтому лежат на средней линии трапеции. Для вычисления расстояния удобно ввести координаты.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Положите $A=(0,0)$, $D=(39,0)$, а $B=(x,h)$, $C=(x+9,h)$. Из условий на боковые стороны найдите $x$ и $h$, затем определите абсциссы центров на прямой $y=h/2$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяОкружности и прямые треугольникаСледующаяВысоты и перпендикуляры в треугольнике

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль