Решение: Тангенциальный четырёхугольник
В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle NKL=\angle KLM=120^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=1$.
Решение по шагам
8 шаговСумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle LMN=30^\circ$.
$$\angle LMN=360^\circ-90^\circ-120^\circ-120^\circ=30^\circ$$Обозначим радиус вписанной окружности через $r$. Длины касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны. Для вершины с углом $\alpha$ длина каждой такой касательной равна $r\cot\dfrac{\alpha}{2}$.
Положим $t=\dfrac{r}{\sqrt3}$. Тогда для вершин $K,L,M,N$ длины касательных равны соответственно $t$, $t$, $t(3+2\sqrt3)$ и $t\sqrt3$.
Так как $A$ — точка касания на стороне $MN$, имеем $MA=t(3+2\sqrt3)$. Кроме того, $LM$ является суммой касательных от вершин $L$ и $M$, поэтому $LM=t(4+2\sqrt3)$.
В треугольнике $LMA$ угол $LMA$ равен $30^\circ$. По теореме косинусов:
$$LA^2=LM^2+MA^2-2\,LM\cdot MA\cos30^\circ=t^2(7+4\sqrt3)=t^2(2+\sqrt3)^2$$Следовательно, $LA=t(2+\sqrt3)$, а $LM=2t(2+\sqrt3)=2LA$. В треугольнике $LMA$ сторона $LM$ вдвое больше стороны $LA$, лежащей напротив угла $30^\circ$. Значит, $\angle LAM=90^\circ$, а $\angle ALM=60^\circ$.
Радиусы, проведённые к точкам касания на сторонах $LK$ и $LM$, перпендикулярны этим сторонам, поэтому $LO$ является биссектрисой угла $KLM$. Следовательно, $\angle OLM=60^\circ$. Так как $\angle ALM=60^\circ$, лучи $LA$ и $LO$ совпадают. Значит, точка $A$ лежит на прямой $LO$.
Из условия $LA=1$ получаем $t=\dfrac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3$. Сторона $MN$ равна сумме касательных от вершин $M$ и $N$:
$$MN=t(3+2\sqrt3)+t\sqrt3=3t(1+\sqrt3)=3(\sqrt3-1)$$MN=3(\sqrt3-1)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно находят угол $\angle LMN$, забывая, что сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$.
Путают длину касательной из вершины с радиусом окружности.
Не обосновывают, почему $LO$ является биссектрисой угла $KLM$.
Вычисляют $MN$ как разность, а не как сумму касательных от вершин $M$ и $N$.