Планиметрия — 132 тапсырма

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $16^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

Угол $\angle ACO$ равен $57^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$. Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен . Найдите угол . Жауап дайте в градусах.

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $70^\circ$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $58^\circ$, угол $CAD$ равен $39^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 9$, $CD = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 30, вписана окружность, $AB = 9$. Найдите длину стороны $CD$.

Площадь треугольника $ABC$ равна 60. $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь трапеции $ABED$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 28. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

Площадь треугольника $ABC$ равна 24, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $32^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $61^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$. Докажите, что $AB:BC = AE:EK$. Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если…

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$. а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$. б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=15$ и $BD=8{,}5$.