Планиметрия — 132 задачи

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ — перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E$. а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны. б) Найдите длину отрезка $ME$, если…

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$. а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD = 15$ и $AC = 2\sqrt{61}$.

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает продолжение стороны $AD$ за точкой $D$ в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точкой $D$ в точке $K$. а) Докажите, что $BK = BE$. б) Найдите отношение $KE : AC$, если $\angle BAD = 30^\circ$.

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$. а) Докажите, что $\angle OAC = 45^\circ$. б) Найдите длину отрезка $BC$, если $BO = 1$ и $AC = 6$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. а) Докажите, что $\angle BB_1C_1 = \angle BAH$. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1 = 18$ и $\angle BAC = 30^\circ$.

Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. а) Докажите, что $CO = KO$. б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $\dfrac{9}{100}$…

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM = MC$. Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$. Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB = 5$, $BC = 10$, $\angle BAD = 60^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=120^\circ$, $BC=10\sqrt{7}$ и площадь…

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$ и площадь треугольника…

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$ — на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM = BP$, $AB = BQ$. а) Докажите, что $BM = PQ$. б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если…

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 135^\circ$, $B_1C_1 = 10$ и площадь…

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. а) Докажите, что $AH = AO$. б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC = \sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle NKL=\angle KLM=120^\circ$. а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$. б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=1$.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые. Докажите, что $AM = DM$. Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.

На сторонах треугольника отмечены точки, причём часть обозначений и числовых данных на изображении не распознана. Отрезки пересекаются в точке. Докажите, что указанный четырёхугольник является параллелограммом, а затем найдите радиус окружности, описанной около указанного треугольника, если данные отрезки…