Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $9^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как треугольник $ABC$ прямоугольный при $C$, его острые углы в сумме дают $90^\circ$. Поэтому $\angle A = 90^\circ - 9^\circ = 81^\circ$.$$\angle A = 90^\circ - \angle B = 81^\circ$$
- 2
Медиана $CM$ к гипотенузе образует с катетом $CA$ угол, равный $\angle A$, то есть $81^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите величину центрального угла, если он на $69^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла.$$C = 2I$$
- 2
По условию центральный угол на $69^\circ$ больше вписанного.$$C = I + 69$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике сторона равна, угол равен. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Для стороны треугольника, противолежащей углу, применяем теорему синусов.$$a = 2R\sin\alpha$$
- 2
Выражаем радиус описанной окружности.$$R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Угол $\angle ACO$ равен $62^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$. Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности…
- 1
Радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $CA$, поэтому $\angle OAC = 90^\circ$.$$OA \perp CA$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOC$ и найдём угол при вершине $O$.$$\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $24$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.
- 1
Трапеция $BCDE$ является частью параллелограмма, оставшейся после удаления треугольника $ABE$.$$S_{BCDE}=S_{ABCD}-S_{ABE}$$
- 2
Поскольку $E$ — середина стороны $AD$, отрезок $AE$ вдвое меньше $AD$. При одинаковой высоте к прямой $AB$ площадь треугольника $ABE$ составляет четверть площади параллелограмма.$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AE}{AD}\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot24=6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, угол $C$ равен $168^\circ$, угол $CBD$ внешний. Найдите величину угла $CBD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.$$\angle A = \angle B = \dfrac{180^\circ - 168^\circ}{2} = 6^\circ$$
- 2
Углы $ABC$ и $CBD$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CBD = 180^\circ - 6^\circ = 174^\circ$$
В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен $22$, вписана окружность, $AB = 8$. Найдите длину стороны $CD$.
- 1
В описанном четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны:$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Каждая из этих сумм равна половине периметра:$$AB + CD = \frac{22}{2} = 11$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центральный угол на $32^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим величину вписанного угла через $x$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2x$.$$\alpha_{\text{ц}} = 2x$$
- 2
По условию центральный угол на $32^\circ$ больше вписанного.$$2x = x + 32$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.
- 1
Выразим площадь треугольника через большую сторону и высоту, опущенную на неё.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10$$
- 2
Выразим ту же площадь через меньшую сторону 15 и искомую высоту $h$.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центральный угол на $29^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим величину вписанного угла через $x$ градусов. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2x$.$$\alpha_{\text{ц}} = 2x$$
- 2
По условию центральный угол на $29^\circ$ больше вписанного.$$2x = x + 29$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 10$, $BC = 6$, $CD = 15$. Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.
- 1
Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём сторону $AD$:$$AD = 10 + 15 - 6 = 19$$
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что $AB = 6$, $BC = 4$, $CD = 9$. Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.
- 1
В четырёхугольник вписана окружность, поэтому суммы длин его противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём четвёртую сторону.$$6 + 9 = 4 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 10$, $CD = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.
- 1
В описанном четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Найдём сумму длин двух противоположных сторон:$$AB + CD = 10 + 17 = 27$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь треугольника равна 24. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон. Найдите площадь трапеции, отсечённой этой средней линией.
- 1
Средняя линия параллельна стороне треугольника, поэтому отсечённый малый треугольник подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия. Найдём площадь малого треугольника:$$S_1 = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $65^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$.
- 1
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому$$\angle A=90^\circ-65^\circ=25^\circ$$
- 2
Медиана $CM$, проведённая к гипотенузе, делит треугольник так, что угол между медианой и катетом $CA$ равен углу $A$, то есть $25^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $30^\circ$. Найдите величину угла $B$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, угол $A$ равен удвоенному углу $CAD$.$$\angle A = 2\angle CAD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём угол $B$:$$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 54^\circ = 66^\circ$$
Стороны параллелограмма равны 18 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 18 \cdot 10 = 180$$
- 2
Используем большую сторону как основание и обозначим искомую высоту через $h$.$$S = 20h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $62^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $DBC$ и $CAD$ являются вписанными и опираются на одну и ту же хорду $DC$, поэтому они равны.$$\angle DBC = \angle CAD = 41^\circ$$
- 2
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 62^\circ + 41^\circ = 103^\circ$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $ABD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $CAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга, на которую опирается угол, вдвое больше этого угла.$$m(\widehat{AD}) = 2\angle ABD = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ$$
- 2
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна:$$m(\widehat{ADC}) = 2\angle ABC = 2 \cdot 120^\circ = 240^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $25^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, его острые углы в сумме дают $90^\circ$. Поэтому угол $A$ равен:$$\angle A = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Угол $AHC$ равен $90^\circ$, поэтому угол между $AC$ и высотой $CH$ равен:$$\angle ACH = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде