Решите неравенство $\log_{11}(2x^2+1)+\log_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\geq\log_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right)$.
- 1
Определим область допустимых значений. Первый аргумент логарифма положителен при всех $x$, поскольку $2x^2+1>0$. Для второго аргумента требуется$$1+\frac{1}{32x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{32x+1}{32x}>0$$
- 2
Решая полученное неравенство и учитывая условие для третьего аргумента, получаем$$x>0\ \text{или}\ x<-\frac{1}{32};\qquad \frac{x}{16}+1>0\Longleftrightarrow x>-16$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $1+\dfrac{6}{\log_3 x-3}+\dfrac{5}{\log_3^2 x-\log_3(27x^6)+12}\ge 0$.
- 1
По определению логарифма необходимо, чтобы $x>0$. Дополнительно знаменатели исходного выражения не должны обращаться в ноль: $\log_3 x-3\ne 0$.$$x>0,\quad \log_3 x\ne 3$$
- 2
Введём замену $t=\log_3 x$. Тогда $\log_3(27x^6)=\log_3 27+\log_3 x^6=3+6t$.$$\log_3^2 x-\log_3(27x^6)+12=t^2-(3+6t)+12=(t-3)^2$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $2\log_2\left(x\sqrt{5}\right)-\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right)\leq\log_2\left(5x^2+\frac{1}{x}-2\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Из условия существования первых двух логарифмов получаем $x>0$ и $\frac{x}{1-x}>0$, откуда $0<x<1$. На этом промежутке третий аргумент также положителен.$$0<x<1$$
- 2
Объединим логарифмы в левой части:$$2\log_2(x\sqrt{5})-\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right)=\log_2\left(\frac{(x\sqrt{5})^2}{x/(1-x)}\right)=\log_2\bigl(5x(1-x)\bigr)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $$\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot2^{x+4}+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^{x-2}}+\frac{3}{2^{x+1}-1}.$$
- 1
Положим $t=2^x$. Тогда $t>0$, $8^{x+\frac23}=4t^3$, $4^{x+\frac12}=2t^2$, а $2^{x+4}=16t$.$$t=2^x>0$$
- 2
Ограничения на переменную возникают из знаменателей:$$2t-1\ne0,\qquad 2t^2-144t+4\ne0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\log_{4}\bigl((x-5)(x^2-2x-15)\bigr)+1\ge 0{,}5\log_{2}(x-5)^2$.
- 1
Определим область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным, а аргумент второго логарифма — ненулевым:$$(x-5)(x^2-2x-15)>0,\quad (x-5)^2>0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Решите неравенство.
- 1
В предоставленном тексте и на изображении указано только требование решить неравенство, но само неравенство отсутствует.
- 2
Без выражения неравенства невозможно определить область допустимых значений, преобразования и множество решений.
Решите неравенство $1+\dfrac{10}{\log_2 x-5}+\dfrac{16}{\log_2^2 x-\log_2(32x^{10})+30}\ge 0$.
- 1
Область определения исходного выражения задаётся условиями $x>0$ и $\log_2 x-5\ne 0$, то есть $x>0$ и $\log_2 x\ne 5$.$$x>0,\quad \log_2x\ne 5$$
- 2
Введём замену $t=\log_2x$. Тогда $\log_2(32x^{10})=\log_2 32+10\log_2x=5+10t$.$$\log_2(32x^{10})=5+10t$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $3^{\log_3(\log_3 x)}+(\log_9 x)^2-8\le 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Для существования выражения $\log_3(\log_3 x)$ необходимо, чтобы $\log_3 x>0$, откуда $x>1$.$$x>1$$
- 2
Введём замену $t=\log_3 x$. Тогда $t>0$, а первый член неравенства упрощается:$$3^{\log_3(\log_3 x)}=3^{\log_3 t}=t$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{2}{3^x+27}>\dfrac{1}{3^x-27}$.
- 1
Знаменатель $3^x-27$ не должен обращаться в ноль. Поэтому $3^x\ne27$, откуда $x\ne3$.$$3^x-27\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne3$$
- 2
Перенесём правую часть в левую и приведём дроби к общему знаменателю.$$\frac{2}{3^x+27}-\frac{1}{3^x-27}>0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{25x^2-120x+144}{\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})}\le 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным:$$4^x-8>0\Longrightarrow 4^x>8\Longrightarrow x>\frac{3}{2}$$
- 2
Аргумент второго логарифма положителен при любом действительном $x$, так как $2^{x+1}>0$. Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль.$$\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})\ne0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $3^{\log_3(2^x-2)}+4^x-18\le 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:$$2^x-2>0\quad\Longrightarrow\quad 2^x>2\quad\Longrightarrow\quad x>1$$
- 2
По свойству взаимно обратных функций упростим первый член неравенства:$$3^{\log_3(2^x-2)}=2^x-2$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81}{x-1}\le 0$.
- 1
Выполним замену $t=3^x$, тогда $t>0$, $9^x=t^2$, а $3^{x+2}=9t$.$$t=3^x>0$$
- 2
Преобразуем числитель неравенства:$$3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81=t^3-15t^2+63t-81$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство.
- 1
В условии указано только требование решить неравенство, однако сама формула неравенства отсутствует.
- 2
Без исходного выражения невозможно определить область допустимых значений, выполнить преобразования и записать ответ.
Решите неравенство $\log_2^2(x^2-9)-9\log_2(x^2-9)+20\ge 0$.
- 1
Область допустимых значений определяется условием положительности аргумента логарифма:$$x^2-9>0$$
- 2
Выполним замену $t=\log_2(x^2-9)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:$$t^2-9t+20\ge 0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство. В предоставленном изображении математическое выражение не отображается.
- 1
В исходном тексте и на изображении отсутствует само математическое выражение неравенства.
- 2
Поэтому невозможно определить область допустимых значений, преобразовать неравенство и найти множество решений.
Решите неравенство $\dfrac{4}{\log_2 x}-\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)\leq\dfrac{38}{\log_2^2 x}$.
- 1
Найдём область допустимых значений: $x>0$, а также $\log_2 x\neq 0$, поэтому $x\neq 1$.
- 2
Сделаем замену $t=\log_2 x$. Тогда $t\neq 0$, а $\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)=\log_2 4-\log_2 x=2-t$.
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{x^2+4x-5}{\log_3(0{,}2\cdot 5^x)}\ge 0$.
- 1
Разложим числитель на множители:$$x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$$
- 2
Преобразуем выражение под знаком логарифма:$$0{,}2\cdot 5^x=\frac{1}{5}\cdot 5^x=5^{x-1}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{3\cdot 27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4{,}5}\ge 0$.
- 1
Преобразуем степени в числителе, используя $27^x=(3^x)^3$, $9^{x+1}=9(3^x)^2$ и $3^{x+2}=9\cdot 3^x$.$$3\cdot 27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3=3(3^x)^3-9(3^x)^2+9\cdot 3^x-3$$
- 2
Вынесем общий множитель и разложим получившийся многочлен.$$3(3^x)^3-9(3^x)^2+9\cdot 3^x-3=3\bigl((3^x)^3-3(3^x)^2+3\cdot 3^x-1\bigr)=3(3^x-1)^3$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство.
- 1
В предоставленном тексте и на изображении указано только «Решите неравенство», но само выражение неравенства отсутствует.
- 2
Без выражения невозможно определить область допустимых значений, выполнить преобразования и найти множество решений.
Решите неравенство.
- 1
В распознанном тексте и на предоставленном изображении отсутствует сама формула неравенства.
- 2
Без выражения неравенства невозможно определить ОДЗ, выполнить преобразования и найти множество решений.