На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-1$, $2$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной наибольшее?
- 1
Для шешімдер нужно сравнить наклоны касательных к графику функции в отмеченных точках.$$f'(x)=k_{касательной}$$
- 2
В представленном материале график функции отсутствует, поэтому определить наибольшее значение производной невозможно.
Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3$.
- 1
Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 - 28x + 49$$
- 2
Приравняем производную к нулю и решим квадратное уравнение.$$3x^2 - 28x + 49 = 0,\quad x_1 = \dfrac{7}{3},\quad x_2 = 7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$. Сколько из этих точек…
- 1
Функция убывает на промежутке, если её производная на этом промежутке отрицательна.$$f'(x)<0$$
- 2
Чтобы получить численный ответ, нужно определить по графику, какие из девяти отмеченных точек лежат на участках, где график производной расположен ниже оси абсцисс. График производной в предоставленном изображении отсутствует, поэтому…
На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
- 1
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
- 2
Численное значение углового коэффициента можно определить только по координатам точек касательной на рисунке. На предоставленном изображении график и касательная отсутствуют.
Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 18x^2 + 81x + 17$.
- 1
Найдём производную функции:$$y' = 3x^2 - 36x + 81$$
- 2
Определим критические точки, разложив производную на множители:$$3x^2 - 36x + 81 = 3(x - 3)(x - 9)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 27x + 14$.
- 1
Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 - 27$$
- 2
Приравняем производную к нулю и найдём критические точки.$$3x^2 - 27 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = -3,\ 3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
- 1
Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
- 2
Выберем на касательной две точки с целыми координатами: $(0;-1)$ и $(1;1)$.$$k=\dfrac{1-(-1)}{1-0}=2$$
Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 14x^2 + 49x + 8$.
- 1
Найдём производную функции:$$y' = 3x^2 + 28x + 49$$
- 2
Разложим производную на множители и найдём критические точки:$$y' = (3x + 7)(x + 7),\quad x = -\dfrac{7}{3},\ x = -7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. Укажите количество отмеченных точек, в которых производная…
- 1
Производная функции положительна в тех отмеченных точках, где график возрастает.$$f'(x_i)>0$$
- 2
На предоставленном изображении график функции с отмеченными точками отсутствует, поэтому определить число таких точек невозможно.
Найдите точку максимума функции $y = 3{,}5x^2 - 29x + 30 \cdot \ln x + 67$.
- 1
Область определения функции: $x > 0$. Найдём производную.$$y' = 7x - 29 + \dfrac{30}{x}$$
- 2
Приравняем производную к нулю и умножим уравнение на $x > 0$.$$7x^2 - 29x + 30 = 0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих…
- 1
Функция $f(x)$ возрастает на промежутках, где её производная положительна.$$f'(x)>0$$
- 2
На графике производной нужно отметить точки, лежащие на участках выше оси абсцисс, и сосчитать их. Таких отмеченных точек шесть.
Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 108x + 23$.
- 1
Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 - 108$$
- 2
Определим критические точки, приравняв производную к нулю.$$3x^2 - 108 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = -6,\ 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите точку максимума функции $y = 0{,}5x^2 - 21x + 110\ln x + 43$.
- 1
Область определения функции: $x > 0$. Найдём производную.$$y' = x - 21 + \dfrac{110}{x}$$
- 2
Приведём производную к общему знаменателю и найдём критические точки.$$y' = \dfrac{x^2 - 21x + 110}{x} = \dfrac{(x - 10)(x - 11)}{x}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 192x + 11$.
- 1
Найдём производную функции и приравняем её к нулю.$$y' = 3x^2 - 192 = 0$$
- 2
Решим уравнение: $3x^2 = 192$, откуда $x^2 = 64$.$$x = -8,\quad x = 8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите точку минимума функции $y = 2x^{\frac{3}{2}} - 18x + 21$.
- 1
Область определения функции: $x \geq 0$. Найдём производную.$$y' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 18 = 3\sqrt{x} - 18$$
- 2
Найдём критическую точку, приравняв производную к нулю.$$3\sqrt{x} - 18 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 6 \Rightarrow x = 36$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
- 1
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
- 2
Численное значение углового коэффициента нельзя определить, поскольку график и касательная отсутствуют на предоставленном изображении.
Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 12x^2 + 36x + 17$.
- 1
Найдём производную функции:$$y' = 3x^2 - 24x + 36$$
- 2
Определим критические точки, разложив производную на множители:$$3x^2 - 24x + 36 = 3(x - 2)(x - 6)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$. Найдите количество отмеченных точек, в которых…
- 1
Производная функции отрицательна в точках, где функция убывает.$$f'(x)<0$$
- 2
По графику определяем отмеченные точки, лежащие на убывающих участках функции, и подсчитываем их.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите наименьшее значение функции $y = 10\cos x + 14x + 9$ на отрезке $\left[0;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
- 1
Найдём производную функции:$$y' = -10\sin x + 14 = 14 - 10\sin x$$
- 2
Поскольку $\sin x \leq 1$, производная на всём отрезке положительна:$$y' \geq 14 - 10 = 4 > 0$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \dfrac{36x}{\pi} + 7$ на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{6}; 0\right]$.
- 1
Найдём производную функции.$$y' = 10\cos x - \dfrac{36}{\pi}$$
- 2
Так как $\cos x \leq 1$, то $y' \leq 10 - \dfrac{36}{\pi} < 0$. Следовательно, функция убывает на всём заданном отрезке.
Ещё 1 қадам — толық шешімде