Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 27x^2 + 11$.
- 1
Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 + 54x = 3x(x + 18)$$
- 2
Критические точки находятся из условия $y' = 0$.$$3x(x + 18) = 0,\quad x = -18 или x = 0$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку максимума функции $y = 17 + 27x - 2x^{\frac{3}{2}}$.
- 1
Область определения функции: $x \geq 0$. Найдём производную.$$y' = 27 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 27 - 3\sqrt{x}$$
- 2
Приравняем производную к нулю и найдём критическую точку.$$27 - 3\sqrt{x} = 0,\quad \sqrt{x} = 9,\quad x = 81$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-12;12)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-6;11]$.
- 1
Для нахождения точек максимума нужно определить нули производной, в которых её знак меняется с положительного на отрицательный.$$f'(x): +\to-$$
- 2
График производной на предоставленном изображении отсутствует, поэтому подсчитать такие переходы невозможно.
Найдите наибольшее значение функции $y = \ln(8x) - 8x + 7$ на отрезке $\left[\frac{1}{16};\frac{5}{16}\right]$.
- 1
Найдём производную функции:$$y' = \frac{1}{x} - 8$$
- 2
Приравняем производную к нулю и найдём критическую точку:$$\frac{1}{x} - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку максимума функции $y = 4 + 9x - x\sqrt{x}$.
- 1
Область определения функции: $x \geq 0$. Представим функцию в виде $y = 4 + 9x - x^{3/2}$ и найдём её производную.$$y' = 9 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 9 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$$
- 2
Найдём критическую точку, приравняв производную к нулю.$$9 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 10x^2 + 25x + 16$.
- 1
Найдём производную функции:$$y' = 3x^2 + 20x + 25$$
- 2
Определим критические точки, решив квадратное уравнение:$$3x^2 + 20x + 25 = 0,\quad x_1 = -5,\quad x_2 = -\frac{5}{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку минимума функции. Формула функции на предоставленном изображении и в распознанном тексте отсутствует.
- 1
В условии отсутствует формула функции, поэтому производную вычислить нельзя.
- 2
Следовательно, точку минимума определить по имеющимся данным невозможно.
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-10; 7)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-2; 6]$.
- 1
Функция $f(x)$ убывает там, где $f'(x)<0$, и возрастает там, где $f'(x)>0$.
- 2
Точка минимума возникает при переходе производной через ноль с отрицательных значений на положительные.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку минимума функции. Формула функции в исходных данных отсутствует.
- 1
В условии отсутствует формула функции, поэтому её производную вычислить невозможно.
- 2
Следовательно, численное значение точки минимума определить по представленным данным нельзя.
Найдите точку максимума функции $y=(x+8)\cdot e^{12-x}$.
- 1
Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения.$$y'=e^{12-x}-(x+8)e^{12-x}=e^{12-x}(-x-7)$$
- 2
Поскольку $e^{12-x}>0$ при любом $x$, производная равна нулю только при $-x-7=0$.$$-x-7=0\quad\Rightarrow\quad x=-7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку минимума функции $y = x^2 - 20x + 48\ln x - 97$.
- 1
Область определения функции: $x > 0$. Найдём производную.$$y' = 2x - 20 + \frac{48}{x}$$
- 2
Приравняем производную к нулю и разложим числитель на множители.$$2x - 20 + \frac{48}{x} = \frac{2x^2 - 20x + 48}{x} = \frac{2(x - 4)(x - 6)}{x} = 0$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку максимума функции $y = 3 + 18x - x^{\frac{3}{2}}$.
- 1
Найдём производную функции.$$y' = 18 - \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 18 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$$
- 2
Приравняем производную к нулю и найдём критическую точку.$$18 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 144$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку минимума функции $y = x^2 - 28x + 96 \cdot \ln x + 31$.
- 1
Область определения функции: $x > 0$. Найдём производную.$$y' = 2x - 28 + \dfrac{96}{x}$$
- 2
Приведём производную к общему виду и разложим числитель на множители.$$y' = \dfrac{2x^2 - 28x + 96}{x} = \dfrac{2(x - 6)(x - 8)}{x}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;14)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-4;9]$.
- 1
В точках экстремума производная равна нулю. Точка минимума получается тогда, когда при движении слева направо производная меняет знак с отрицательного на положительный.$$f'(x): - \to +$$
- 2
По графику производной на отрезке $[-4;9]$ таких перехода два.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
- 1
Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.$$f'(x_0)=k$$
- 2
Для нахождения углового коэффициента нужно выбрать на касательной две точки с известными координатами и вычислить отношение приращения ординаты к приращению абсциссы.$$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \dfrac{42x}{\pi} - 12$ на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{6};\,0\right]$.
- 1
Найдём производную функции:$$y' = 10\cos x - \dfrac{42}{\pi}$$
- 2
Так как $\cos x \leq 1$, то $y' \leq 10 - \dfrac{42}{\pi} < 0$. Следовательно, функция убывает на всём отрезке.
Ещё 2 шага — в полном решении
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. Сколько из этих точек принадлежит…
- 1
Функция убывает на тех промежутках, где её производная отрицательна.$$f'(x)<0$$
- 2
На графике отмечаем точки, соответствующие промежуткам, где график $y=f'(x)$ расположен ниже оси абсцисс.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите точку максимума функции $y = 4 + 27x - x^{\frac{3}{2}}$.
- 1
Область определения функции: $x \geq 0$. Найдём производную.$$y' = 27 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$$
- 2
Приравняем производную к нулю и решим уравнение.$$27 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 18 \Rightarrow x = 324$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
- 1
Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику.$$f'(x_0)=k$$
- 2
Численное значение углового коэффициента невозможно определить, поскольку график и координатная сетка на предоставленном изображении отсутствуют.
Найдите точку максимума функции. Формула функции в исходном условии не отображается.
- 1
Формула функции отсутствует в распознанном условии и на предоставленном скриншоте, поэтому производную вычислить невозможно.
- 2
Для решения необходимо получить выражение функции $f(x)$, найти её производную и исследовать смену знака производной.$$f'(x)=0$$