Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 8, а объём параллелепипеда равен 640. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{640}{10 \cdot 8} = 8$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней.$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 9 и 4. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 48.
- 1
Найдём площадь основания пирамиды — прямоугольника со сторонами 9 и 4.$$S_{\text{осн}}=9\cdot4=36$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\qquad h=\frac{3V}{S_{\text{осн}}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $3$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $3$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{3}=\frac{27}{4}$$
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 100.
- 1
Вычислим площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 5 \cdot 12 = 60$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и найдём её высоту:$$100 = \dfrac{1}{3} \cdot 60 \cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $5$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $5$. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=25\cdot3=75$$
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$$
Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 46 см. Найдите…
- 1
Переведём сторону основания большой пирамиды в сантиметры: $230\ \text{м} = 23000\ \text{см}$.
- 2
Коэффициент подобия музейной копии и оригинала равен отношению соответствующих сторон основания:$$k = \dfrac{46}{23000}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\frac{S_{б}}{S_{м}} = \frac{4\pi \cdot 8^2}{4\pi \cdot 2^2} = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$$
Радиус основания цилиндра равен 5, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 4. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h=15$.
- 2
Ширина прямоугольника — хорда основания цилиндра. Расстояние от центра основания до хорды равно $4$, а радиус окружности равен $5$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 5, а второго — 4 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
У обоих конусов радиус основания равен $4$, а образующая равна $5$, поэтому площади их боковых поверхностей одинаковы:$$S_1 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi,\quad S_2 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $16\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$16\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 3. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 4 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_б}{V_м} = \left(\dfrac{4}{2}\right)^3 = 2^3 = 8$$
Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h = 9$.
- 2
Ширина прямоугольника — хорда основания цилиндра. Половина хорды, расстояние от центра основания до хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник:$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + 24^2 = 25^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 7.
- 1
Подставим значения рёбер $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(ab + ac + bc)$$
- 2
Вычислим сумму площадей трёх граней и умножим её на 2.$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 2(15 + 21 + 35) = 142$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{10}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{40-4}=6$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot6=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Через точку, делящую высоту данного конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём данного конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса малый конус, подобный исходному.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}}=k^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Найдём отношение площади поверхности большего шара к площади поверхности меньшего:$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\pi\cdot 6^2}{4\pi\cdot 1^2}=\frac{36}{1}=36$$
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 4 и 2, а второго — 2 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Найдём отношение объёма первого конуса к объёму второго. Общие множители сократятся:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2} = \dfrac{4^2 \cdot 2}{2^2 \cdot 4} = \dfrac{32}{16} = 2$$
Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Отношение площади поверхности большего шара к площади поверхности меньшего равно квадрату отношения их радиусов:$$\frac{S_{\text{больш}}}{S_{\text{меньш}}} = \left(\frac{7}{1}\right)^2 = 49$$