Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, а второго — 12 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
- 2
Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров.$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2\pi \cdot 9 \cdot 8}{2\pi \cdot 12 \cdot 3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 21 см. Найдите…
- 1
Переведём сторону основания большой пирамиды из метров в сантиметры: $210\ \text{м}=21000\ \text{см}$.
- 2
Найдём коэффициент подобия копии и оригинала:$$k=\frac{21}{21000}=\frac{1}{1000}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 42 см. Найдите…
- 1
Переведём сторону основания большой пирамиды в сантиметры: $210\ \text{м}=21000\ \text{см}$.
- 2
Найдём коэффициент подобия музейной копии и оригинала:$$k=\dfrac{42}{21000}=\dfrac{1}{500}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной $4$.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=36$$
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 8 и 9, а второго — 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $16\pi$, а радиус его основания равен $2$. Найдите длину высоты этого конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и радиуса:$$16\pi=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 2^2\cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 52,5 см…
- 1
Переведём длины большой пирамиды в сантиметры: $210\ м = 21000\ см$, $136\ м = 13600\ см$.$$210\cdot 100=21000,\quad 136\cdot 100=13600$$
- 2
Найдём коэффициент подобия копии и исходной пирамиды.$$k=\frac{52{,}5}{21000}=\frac{1}{400}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 9.
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 9)$$
- 2
Вычислим значение выражения:$$S = 2(12 + 27 + 36) = 2 \cdot 75 = 150$$
Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_{б}}{V_{м}} = \left(\dfrac{7}{1}\right)^3 = 343$$
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 4 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 9}{\pi \cdot 3 \cdot 6}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
- 2
Найдём отношение площади боковой поверхности первого цилиндра к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi r_1h_1}{2\pi r_2h_2} = \frac{4\cdot18}{2\cdot3} = 12$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной 6:$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3} = 45$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $6$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $6$. Его площадь равна$$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{осн}h = 9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 27$$
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 17 и основанием 16.
- 2
Высота каждого бокового треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора найдём высоту:$$h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 6$, $AC = 18$ и $AD = 8$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём пирамиды равен одной шестой произведения длин этих рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим данные из условия.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 6 \cdot 18 \cdot 8 = 144$$
Объём конуса равен $25\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$25\pi=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot3=\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $5$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную боковую грань $DAA_1D_1$. По теореме Пифагора найдём ребро $AA_1$:$$AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 = (2\sqrt{10})^2 - 6^2 = 40 - 36 = 4$$
- 2
Следовательно, $AA_1 = 2$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $DAA_1$ диагональ боковой грани $DA_1$ является гипотенузой.$$DD_1=\sqrt{DA_1^2-DA^2}=\sqrt{29-2^2}=\sqrt{25}=5$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.$$V=DA\cdot DC\cdot DD_1=2\cdot5\cdot5=50$$
Объём конуса равен $162\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$162\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $98\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$98\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении