Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 и 3. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 40.
- 1
Найдём площадь основания пирамиды — прямоугольника со сторонами 10 и 3:$$S_{\text{осн}} = 10 \cdot 3 = 30$$
- 2
Объём пирамиды выражается формулой:$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площадей первого и второго конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 8$, $AC = 12$ и $AD = 5$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим известные значения.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 8 \cdot 12 \cdot 5 = 80$$
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 20, а боковые рёбра равны 26. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Боковая поверхность состоит из трёх равных боковых граней. Каждая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами 26 и основанием 20.
- 2
Высота боковой грани делит её основание пополам. По теореме Пифагора:$$h=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{41}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(\sqrt{41})^2-4^2}=\sqrt{41-16}=5$$
- 2
Площадь основания призмы равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5=10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 375. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает конус, подобный исходному.
- 2
Поскольку точка делит высоту в отношении $1:4$, высота отсечённого конуса составляет $\dfrac{1}{1+4}=\dfrac{1}{5}$ высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 4, а второго — 6 и 6. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёма первого конуса к объёму второго. Общие множители сокращаются:$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac{1}{3}\pi\cdot9^2\cdot4}{\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot6}=\dfrac{81\cdot4}{36\cdot6}=\dfrac{324}{216}=1{,}5$$
Объём конуса равен $1125$. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Точка делит высоту в отношении $1:4$ от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет $\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$ высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{5}$$
- 2
Отсечённый конус подобен исходному, поэтому его объём относится к объёму исходного как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{1125}=\left(\frac{1}{5}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 64. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Точка делит высоту от вершины в отношении $1:3$, поэтому высота отсечённого конуса составляет четверть высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
- 2
Отсечённый конус подобен исходному. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V}=k^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 8 и 7, а второго — 4 и 7. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёмов двух конусов:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2h_2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 7 и…
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(2 \cdot 7 + 2 \cdot 10 + 7 \cdot 10)$$
- 2
Выполним вычисления:$$S = 2(14 + 20 + 70) = 2 \cdot 104 = 208$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, а гипотенуза равна $\sqrt{74}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 2.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(\sqrt{74})^2-5^2}=\sqrt{74-25}=7$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot7=\frac{35}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 3, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{3}{1/2} = 6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{больш}}}{S_{\text{меньш}}} = \left(\dfrac{4}{1}\right)^2 = 16$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=12$$
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 6 и 8, а второго — 4 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади первого конуса к площади второго:$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 8}{\pi \cdot 4 \cdot 8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 5, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной 5.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{5^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{25\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = \dfrac{25\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{75}{4} = 18{,}75$$
Объём конуса равен 24. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
- 1
Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Его высота в 2 раза меньше высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_1=V\cdot k^3=24\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=3$$
Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего.$$\dfrac{V_{\text{большего}}}{V_{\text{меньшего}}} = \left(\dfrac{8}{2}\right)^3 = 4^3 = 64$$
Объём конуса равен $50\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$50\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении