Объём конуса равен 8. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
- 1
Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, поэтому отсечённый у вершины конус подобен исходному.
- 2
Коэффициент подобия равен отношению высот: $k = \dfrac{1}{2}$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi R^2$$
- 2
Найдём, во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего.$$\dfrac{S_\text{б}}{S_\text{м}} = \dfrac{4\pi\cdot 8^2}{4\pi\cdot 4^2} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^2 = 4$$
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 5$, $AC = 14$ и $AD = 3$.
- 1
Выберем треугольник $ABC$ в качестве основания. Так как $AB \perp AC$, его площадь равна:$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 = 35$$
- 2
Ребро $AD$ перпендикулярно рёбрам $AB$ и $AC$, поэтому оно является высотой пирамиды.$$h = AD = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 60.
- 1
Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 12 \cdot 5 = 60$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 8, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 5, 5 и 8. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$
- 2
Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и…
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 20 + 6 \cdot 20)$$
- 2
Вычислим сумму произведений:$$S = 2(30 + 100 + 120) = 2 \cdot 250 = 500$$
Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату радиуса.$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Составим отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \dfrac{4\pi\cdot 6^2}{4\pi\cdot 2^2} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = 9$$
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 22, боковое ребро равно 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 61 и основанием 22.$$n = 6$$
- 2
Высота бокового треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора найдём эту высоту:$$h = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3721 - 121} = \sqrt{3600} = 60$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $4$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда.
- 1
Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = CD \cdot CB \cdot DD_1 = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$$
Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Точка делит высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного конуса.$$\frac{h}{H}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$$
- 2
Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$. Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $48\pi$, а его высота равна $9$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты.$$48\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 9 = 3\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и…
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 10)$$
- 2
Вычислим сумму произведений:$$S = 2(12 + 30 + 40) = 2 \cdot 82 = 164$$
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 4, 5 и…
- 1
Подставим значения рёбер $a = 4$, $b = 5$, $c = 30$ в формулу.$$S = 2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 30 + 5 \cdot 30)$$
- 2
Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(20 + 120 + 150) = 2 \cdot 290 = 580$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{5}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$$
- 2
Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Высота пирамиды равна боковому ребру $SA$, так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания:$$h=SA=\sqrt{3}$$
- 2
Площадь основания — площадь правильного треугольника со стороной $2$:$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 4, а второго — 3 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёмов двух конусов. Высоты и общий множитель сокращаются:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 4}{\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 4} = \dfrac{36}{9} = 4$$
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 70$…
- 1
Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
- 2
Подставим известные значения:$$a = \dfrac{70}{5 \cdot 3{,}5} = \dfrac{70}{17{,}5} = 4$$
Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов:$$\dfrac{S_\text{больш}}{S_\text{меньш}} = \left(\dfrac{8}{1}\right)^2 = 64$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $4$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72$$
Объём конуса равен $25\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты.$$25\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении