В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{34}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2 = (\sqrt{34})^2 - 3^2 = 34 - 9 = 25,\quad b = 5$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника — основания призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $4$, $2$ и $2\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
На боковой грани $BCC_1B_1$ диагональ $BC_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $BC$ и $BB_1$.$$BB_1^2 = BC_1^2 - BC^2 = (2\sqrt{5})^2 - 4^2 = 20 - 16 = 4$$
- 2
Следовательно, третье ребро параллелепипеда равно:$$BB_1 = 2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Площадь основания призмы — площадь равностороннего треугольника со стороной $1$.$$S_{\text{осн}}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{3}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$$
Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара определяется формулой:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \dfrac{4\pi\cdot 2^2}{4\pi\cdot 1^2} = 4$$
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, а второго — 4 и 9. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Составим отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 8}{\pi \cdot 4^2 \cdot 9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём данного конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…
- 1
Отсечённый конус и данный конус подобны, так как секущая плоскость параллельна основанию.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}}=k^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $48\pi$, а его высота равна $4$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты.$$48\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 5, а объём параллелепипеда равен 540. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{540}{9 \cdot 5} = 12$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Находим отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_\text{большего}}{V_\text{меньшего}} = \left(\dfrac{5}{1}\right)^3 = 125$$
Объём конуса равен 40. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Так как плоскость проходит через середину высоты, коэффициент подобия отсечённого конуса и исходного равен $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 8}{\pi \cdot 2 \cdot 4}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 55 см. Найдите…
- 1
Переведём размеры исходной пирамиды в сантиметры:$$220\ \text{м}=22000\ \text{см},\quad 104\ \text{м}=10400\ \text{см}$$
- 2
Копия подобна исходной пирамиде, поэтому коэффициент уменьшения можно найти по сторонам основания:$$k=\dfrac{55}{22000}=\dfrac{1}{400}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 9, а второго — 2 и 2. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Запишем отношение объёмов первого и второго конусов:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2h_2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 108. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Из отношения $1:2$, считая от вершины, следует, что высота отсечённого конуса составляет $\dfrac{1}{3}$ высоты исходного.$$k = \dfrac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{отр}} = 108 \cdot k^3 = 108 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 4$$
Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём, во сколько раз объём шара радиуса 6 больше объёма шара радиуса 1:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{6}{1}\right)^3 = 216$$
Для печати на 3D-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус $3$ см…
- 1
Рассмотрим осевое сечение конуса. Образующая $l$, радиус основания $r=3$ см и угол $60^\circ$ образуют прямоугольный треугольник.$$\cos 60^\circ = \frac{r}{l}$$
- 2
Найдём длину образующей.$$l=\frac{3}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{0{,}5}=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и 8.
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 8)$$
- 2
Выполним вычисления:$$S = 2(30 + 40 + 48) = 2 \cdot 118 = 236$$
Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 14.$$h=14$$
- 2
Ширина прямоугольника равна длине хорды основания, находящейся на расстоянии 9 от центра окружности радиуса 15.$$\frac{a}{2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_\text{б}}{V_\text{м}} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$
Объём данного конуса равен 320. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного…
- 1
Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет $\frac{1}{4}$ высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_{\text{мал}}=320\cdot k^3=320\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^3=5$$