Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $3$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Площадь основания призмы — площадь равностороннего треугольника со стороной $3$.$$S_{\text{осн}}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{81}{4}$$
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 14. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 70.
- 1
Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 14 = 42$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h, \quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $6$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. Её диагональ $CD_1$ и стороны $CD$, $DD_1$ связаны теоремой Пифагора.$$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2$$
- 2
Найдём третье ребро параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{29 - 25} = 2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{58}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 2.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b = \sqrt{(\sqrt{58})^2 - 3^2} = \sqrt{58 - 9} = 7$$
- 2
Найдём площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 = 10{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 4, 5 и…
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 10)$$
- 2
Вычислим сумму произведений:$$S = 2(20 + 40 + 50) = 2 \cdot 110 = 220$$
Объём конуса равен $27\pi$, а его высота равна $9$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$27\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 9 = 3\pi r^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $2\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=2\sqrt{3}$$
- 2
Основание — правильный треугольник со стороной $6$, поэтому его площадь равна:$$S_{ABC}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух конусов:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 2 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 3} = 3$$
Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Точка находится на расстоянии одной части из четырёх от вершины, поэтому коэффициент подобия равен$$k=\frac{1}{1+3}=\frac14$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\frac{V_\text{малого}}{128}=k^3=\left(\frac14\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус основания цилиндра равен 29, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 20. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h = 15$.
- 2
Ширина прямоугольника — длина хорды основания, находящейся на расстоянии 20 от центра. По теореме Пифагора для половины хорды:$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = 29^2 - 20^2 = 441$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 6, а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. Из формулы объёма найдём его длину:$$c = \dfrac{144}{12 \cdot 6} = 2$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите длину высоты этой пирамиды, если её объём равен 60.
- 1
Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 12 = 36$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной 3.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=9$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — правильный треугольник со стороной $1$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{3}{2}=1{,}5$$
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго — 2 и 7. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площадей первого и второго конусов:$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi\cdot 7\cdot 9}{\pi\cdot 2\cdot 7}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
- 1
Плоскость параллельна основанию и проходит через середину высоты, поэтому высота отсечённого конуса в 2 раза меньше высоты исходного. Соответствующие линейные размеры относятся как $1:2$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_\text{мал} = V_\text{исх} \cdot k^3 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4$$
Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 16. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 15. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h=16$.
- 2
В основании сечения образуется хорда окружности радиуса $25$. Расстояние от центра окружности до хорды равно $15$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 2$, $AC = 15$ и $AD = 7$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды вычисляется как одна шестая произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 7 = 35$$
На поверхности глобуса фломастером проведены 16 параллелей и 19 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
19 меридианов, сходящихся в полюсах, делят поверхность глобуса на 19 частей.$$19$$
- 2
Каждая из 16 параллелей пересекает все 19 меридианов и разбивается ими на 19 дуг, поэтому добавляет 19 частей.$$16 \cdot 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $72\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$72\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении