Объём конуса равен 54. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсечённого от данного конуса…
- 1
Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному.
- 2
Точка делит высоту в отношении $1:2$ от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет треть высоты исходного:$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $1$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{4}=0.75$$
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 5$, $AC = 24$ и $AD = 3$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды вычисляется как одна шестая произведения их длин.$$V = \dfrac{AB \cdot AC \cdot AD}{6}$$
- 2
Подставим известные значения.$$V = \dfrac{5 \cdot 24 \cdot 3}{6} = 60$$
Объём конуса равен $24\pi$, а его высота равна $8$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$24\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 3 и 8, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Составим отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 8}{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $12\pi$, а радиус его основания равен $3$. Найдите длину высоты этого конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и радиуса:$$12\pi = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 10$, $AC = 18$ и $AD = 3$.
- 1
Три ребра $AB$, $AC$ и $AD$, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим известные значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 18 \cdot 3 = 90$$
Объём конуса равен $15\pi$, а его высота равна $5$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$15\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Объём конуса равен $24\pi$, а его высота равна $8$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$24\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 8 и 6. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Найдём отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сокращается:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1} = \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{6}{3} = 4^2 \cdot 2 = 32$$
Даны два шара с радиусами 9 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Находим отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{9}{1}\right)^3 = 9^3 = 729$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $6\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Найдём площадь основания — равностороннего треугольника со стороной 2.$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и подставим высоту $6\sqrt{3}$.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=6$$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 4, а объём параллелепипеда равен 140. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда:$$c = \dfrac{V}{ab} = \dfrac{140}{7 \cdot 4} = 5$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей его граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус основания цилиндра равен 17, а его образующая равна 10. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 10, а ширина равна длине хорды основания.$$S = l \cdot 10$$
- 2
Половина хорды, радиус основания и расстояние от оси до сечения образуют прямоугольный треугольник.$$\left(\dfrac{l}{2}\right)^2 = 17^2 - 8^2 = 225$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 6 и 3. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего шара?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего шара:$$\dfrac{V_б}{V_м} = \left(\dfrac{6}{3}\right)^3 = 2^3 = 8$$
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 3, а второго — 3 и 9. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Найдём отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 3}{\pi \cdot 3^2 \cdot 9} = \frac{243\pi}{81\pi} = 3$$
Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 12. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 15. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Одна его сторона равна образующей цилиндра, то есть 12.
- 2
Другая сторона является хордой основания. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник.$$\frac{l}{2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $60\pi$, а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$60\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{65}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 7.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b^2 = (\sqrt{65})^2 - 4^2 = 65 - 16 = 49,\quad b = 7$$
- 2
Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}\cdot4\cdot7 = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $9\pi$, а радиус его основания равен $3$. Найдите высоту конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и радиуса:$$9\pi = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении