13
Решение: Объём отсечённого конуса
ЕГЭ · Математика, база · Задание 13 · Стереометрия
ПовышеннаяФИПИB25E82Короткий ответ≈ 2 минутыРазбор в 3 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
Объём конуса равен 54. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсечённого от данного конуса проведённой плоскостью.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
3 шага1
Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному.
2
Точка делит высоту в отношении $1:2$ от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет треть высоты исходного:
$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$$Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:
$$V_{\text{мал}}=54\cdot k^3=54\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=2$$Ответ
2
2
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Используют отношение объёмов $1:3$ вместо куба коэффициента подобия.
Считают, что отсечённый конус имеет высоту $\frac{2}{3}H$, хотя точка отсчитывается от вершины.