Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 1, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого цилиндра?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Составим отношение объёма второго цилиндра к объёму первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 4}{\pi \cdot 4^2 \cdot 1}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 16. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 16.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 16 = 24$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 24 \cdot 3 = 72$$
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 27$…
- 1
Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
- 2
Подставим известные значения:$$a = \dfrac{27}{3 \cdot 4{,}5} = \dfrac{27}{13{,}5} = 2$$
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 4, а второго — 2 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Найдём отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть $14$.
- 2
Ширина прямоугольника — длина хорды основания цилиндра, находящейся на расстоянии $12$ от центра круга радиуса $15$.$$\frac{a}{2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 4 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади боковой поверхности второго конуса к площади первого:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 2, а объём параллелепипеда равен 6. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$1 \cdot 2 \cdot c = 6$$
- 2
Находим третье ребро:$$c = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $6$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAA_1$ на боковой грани. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1 = \sqrt{DA_1^2 - DA^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = DA \cdot DC \cdot AA_1 = 2 \cdot 6 \cdot 6 = 72$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $1$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{15}{4}$$
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 8.
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 5 \cdot 8)$$
- 2
Вычислим сумму площадей трёх граней и умножим её на 2:$$S = 2(15 + 24 + 40) = 2 \cdot 79 = 158$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $5$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}} = \dfrac{5^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{25\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём пирамиды вычисляется как одна треть произведения площади основания на высоту.$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{25\sqrt{3}}{4} \cdot 4\sqrt{3} = 25$$
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 8 и 9, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёмов двух конусов. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{8^2\cdot9}{6^2\cdot4}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 500. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Точка находится на расстоянии $\frac{1}{5}$ высоты от вершины, так как высота разделена в отношении $1:4$.$$k = \frac{1}{5}$$
- 2
Объём подобных тел относится как кубы коэффициента подобия.$$V_\text{мал} = V_\text{исх} \cdot k^3 = 500 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{500}{125} = 4$$
Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра:$$h=18$$
- 2
Ширина прямоугольника равна длине хорды основания. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник:$$\frac{a}{2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5, а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами…
- 1
Подставим значения рёбер $a = 2$, $b = 5$, $c = 6$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(2 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 5 \cdot 6)$$
- 2
Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(10 + 12 + 30) = 2 \cdot 52 = 104$$
Объём данного конуса равен 256. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный данному. Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет четверть высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{мал}}=V_{\text{больш}}k^3=256\left(\frac{1}{4}\right)^3=4$$
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 5 и 7.
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(2 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 5 \cdot 7)$$
- 2
Вычислим сумму произведений:$$S = 2(10 + 14 + 35) = 2 \cdot 59 = 118$$
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёмов первого и второго конусов. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=6$$