Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 4$, $AC = 9$ и $AD = 5$.

1. 1
   Возьмём треугольник $ACD$ за основание. Так как $AC \perp AD$, его площадь равна:$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Ребро $AB$ перпендикулярно и $AC$, и $AD$, следовательно, оно является высотой пирамиды относительно основания $ACD$.$$h = AB$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 5,5 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры исходной пирамиды в сантиметры: $220\ \text{м} = 22000\ \text{см}$, $104\ \text{м} = 10400\ \text{см}$.
2. 2
   Копия и исходная пирамида подобны, поэтому отношение высот равно отношению сторон оснований.$$\dfrac{h}{10400} = \dfrac{5{,}5}{22000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей.$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади второго конуса к площади первого и подставим значения.$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 8}{\pi \cdot 4 \cdot 6} = 2$$

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $4$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию, оно является высотой пирамиды:$$h = SA = \sqrt{3}$$
2. 2
   Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $4$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и 7.

1. 1
   Подставим значения рёбер $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$ в формулу.$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 7)$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$S = 2(30 + 35 + 42) = 2 \cdot 107 = 214$$

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 5, а второго — 2 и 6. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 5}{\pi \cdot 2^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 6, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность состоит из трёх равных боковых граней. Каждая грань является равнобедренным треугольником со сторонами $5$, $5$ и основанием $6$.
2. 2
   Высота боковой грани делит её основание пополам. По теореме Пифагора найдём высоту:$$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь боковой поверхности цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 15 и 6, а второго — 2 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Составим отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi r_1h_1}{2\pi r_2h_2} = \frac{15\cdot 6}{2\cdot 5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности цилиндра

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 3, а второго — 12 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Составим отношение площади боковой поверхности второго цилиндра к площади боковой поверхности первого:$$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{2\pi r_2h_2}{2\pi r_1h_1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 14, а боковые рёбра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трёх равных граней. Каждая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 25 и основанием 14.
2. 2
   Высота боковой грани делит её основание пополам. По теореме Пифагора найдём эту высоту:$$h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = 24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 192. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, поэтому высота отсечённого конуса равна одной четвёртой высоты исходного конуса.$$k=\frac{h_\text{мал}}{h_\text{исх}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
2. 2
   Отсечённый конус подобен исходному. Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_\text{мал}}{V_\text{исх}}=k^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{280}{8 \cdot 5} = 7$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$ на боковой грани параллелепипеда.$$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{29 - 25} = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 4, а второго — 4 и 6. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса определяется формулой:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма первого конуса к объёму второго:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 4}{\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка смены цвета конуса

Для печати на $3D$-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус $4$…

1. 1
   Радиус основания равен проекции образующей на плоскость основания.$$r=l\cos 60^\circ$$
2. 2
   Найдём длину образующей конуса.$$l=\frac{4}{\cos 60^\circ}=\frac{4}{1/2}=8\text{ см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $4$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту призмы:$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=16\cdot3=48$$

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 4, а второго — 6 и 6. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма второго конуса к объёму первого:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{6^2 \cdot 6}{3^2 \cdot 4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух шаров

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём большего шара превышает объём меньшего:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^3 = 3^3 = 27$$

Объём шаров по радиусам

Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_{\text{б}}}{V_{\text{м}}} = \left(\dfrac{3}{1}\right)^3 = 27$$

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 и 8. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 80.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольника, являющегося основанием пирамиды:$$S_{\text{осн}} = 6 \cdot 8 = 48$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении