Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Объём двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 9, а второго — 9 и 2. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Запишем отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 9}{\pi \cdot 9^2 \cdot 2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 9.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 9)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(15 + 27 + 45) = 2 \cdot 87 = 174$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $2{,}1 \cdot 10^2 + 3{,}8 \cdot 10^3$.

1. 1
   Вычислим степени десяти и умножим на них десятичные числа.$$2{,}1 \cdot 10^2 + 3{,}8 \cdot 10^3 = 2{,}1 \cdot 100 + 3{,}8 \cdot 1000$$
2. 2
   Сложим полученные значения.$$210 + 3800 = 4010$$

Нахождение синуса по косинусу

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1. 1
   Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, угол находится во второй четверти, поэтому $\sin \alpha > 0$.
2. 2
   Применяем основное тригонометрическое тождество.$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Доля прибыли акционеров

Государству принадлежит 85% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли…

1. 1
   Частным лицам принадлежит оставшаяся доля акций:$$100\% - 85\% = 15\%$$
2. 2
   Вычислим 15% от общей прибыли предприятия:$$40 \cdot \frac{15}{100} = 6$$

Процент снижения цены

Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рубля. На сколько процентов была снижена цена футболки?

1. 1
   Найдём, на сколько рублей снизилась цена футболки.$$1200 - 972 = 228$$
2. 2
   Определим, какую долю первоначальной цены составляет снижение, и переведём её в проценты.$$\dfrac{228}{1200} \cdot 100\% = 19\%$$

Скидка на яйца

Магазин делает пенсионерам скидку. Десяток яиц стоит в магазине 40 рублей, а пенсионер заплатил за них 35 рублей 60 копеек. Сколько процентов составила скидка для пенсионера?

1. 1
   Найдём величину скидки в рублях:$$40 - 35{,}6 = 4{,}4$$
2. 2
   Определим, какую долю первоначальной цены составляет скидка:$$\dfrac{4{,}4}{40} \cdot 100\% = 11\%$$

Расчёт суммы после налога

Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 25 000 рублей. Какую сумму он получит после уплаты налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

1. 1
   Определим процент заработной платы, который Иван Кузьмич получит после уплаты налога:$$100\% - 13\% = 87\%$$
2. 2
   Вычислим сумму, которую он получит:$$25\,000 \cdot 0{,}87 = 21\,750$$

Цена масла со скидкой

Пачка сливочного масла стоит 275 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 20 %. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

1. 1
   Найдём размер скидки:$$275 \cdot 0{,}2 = 55$$
2. 2
   Вычтем скидку из первоначальной стоимости масла:$$275 - 55 = 220$$

Увеличение платы на процент

Ежемесячная плата за телефон составляет 240 рублей. В следующем году она увеличится на 5 %. Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?

1. 1
   После увеличения на 5 % новая плата составляет 105 % от первоначальной.$$240 \cdot 1{,}05$$
2. 2
   Вычислим размер ежемесячной платы в следующем году.$$240 \cdot 1{,}05 = 252$$

Процентное уменьшение числа ДТП

Число дорожно-транспортных происшествий (ДТП) в летний период составило 0,69 числа ДТП в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с…

1. 1
   Летнее число ДТП составляет 0,69 зимнего числа, поэтому доля уменьшения равна:$$1 - 0{,}69 = 0{,}31$$
2. 2
   Переводим долю уменьшения в проценты:$$0{,}31 \cdot 100\% = 31\%$$

Расчёт заработной платы

Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 13 920 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

1. 1
   После удержания налога Мария Константиновна получила 87 % заработной платы.$$100\% - 13\% = 87\%$$
2. 2
   Обозначим заработную плату через $x$ и составим уравнение.$$0{,}87x = 13920$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Цена чайника до повышения

Цена на электрический чайник была повышена на 18% и составила 1180 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

1. 1
   После повышения на 18% новая цена составляет $100\% + 18\% = 118\%$ от первоначальной.$$1{,}18x = 1180$$
2. 2
   Разделим новую цену на коэффициент повышения.$$x = \dfrac{1180}{1{,}18} = 1000$$

Повышение цены футболки

Футболка стоила 360 рублей. После повышения цены она стала стоить 378 рублей. На сколько процентов была повышена цена футболки?

1. 1
   Найдём, на сколько рублей увеличилась цена футболки.$$378 - 360 = 18$$
2. 2
   Определим, какую долю от первоначальной цены составляет увеличение, и переведём её в проценты.$$\dfrac{18}{360} \cdot 100\% = 5\%$$

Количество участников олимпиады

Призёрами городской олимпиады по математике стали 48 учащихся, что составило 12 % от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

1. 1
   Обозначим число участников за $x$. По условию 12 % от этого числа равны 48.$$0{,}12x = 48$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на $0{,}12$.$$x = \dfrac{48}{0{,}12} = 400$$

Количество выпускников школы

В технических вузах собираются учиться 36 выпускников школы. Они составляют 30 % от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

1. 1
   Обозначим общее число выпускников через $x$. По условию 36 выпускников составляют 30 % от этого числа.$$0{,}3x = 36$$
2. 2
   Найдём общее число выпускников:$$x = \frac{36}{0{,}3} = 120$$

Процент лиственных деревьев

Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 9:16. Других деревьев в парке нет. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

1. 1
   По условию, хвойные деревья составляют 9 частей, а лиственные — 16 частей. Всего деревьев: $9+16=25$ частей.$$9+16=25$$
2. 2
   Найдём процент лиственных деревьев от общего числа:$$\dfrac{16}{25}\cdot 100\%=64\%$$

Цена чайника до повышения

Цена на электрический чайник была повышена на 18% и составила 2124 рубля. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

1. 1
   После повышения цена стала равна 118% от первоначальной цены.$$1{,}18x = 2124$$
2. 2
   Разделим новую цену на коэффициент повышения.$$x = \dfrac{2124}{1{,}18} = 1800$$

Стоимость двух наборов

Набор полотенец, который стоил 280 рублей, продаётся со скидкой 15%. Сколько рублей стоят два набора полотенец со скидкой?

1. 1
   После скидки стоимость одного набора составляет 85% от первоначальной цены:$$280 \cdot 0{,}85 = 238$$
2. 2
   Найдём стоимость двух наборов:$$238 \cdot 2 = 476$$

Участники олимпиады по процентам

Призёрами городской олимпиады по математике стали 25 учащихся, что составило 5% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

1. 1
   Обозначим число участников олимпиады через $x$. По условию 5% от этого числа равны 25.$$0{,}05x = 25$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на $0{,}05$.$$x = \dfrac{25}{0{,}05} = 500$$