В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 68$, $\cos A = \dfrac{8}{17}$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = 68 \cdot \frac{8}{17} = 32$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 3\sqrt{5}$, $\sin A = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. По определению синуса угла $A$ найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 3\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 6$$
- 2
По теореме Пифагора найдём второй катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 49^\circ$ и $\angle BDC = 13^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол при вершине $D$ трапеции состоит из углов $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 49^\circ + 13^\circ = 62^\circ$$
- 2
Так как $AB = CD$, трапеция является равнобедренной, поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 62^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 22$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary к внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Следовательно, $\angle B = 120^\circ$, а стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = AB = 22$.
Ещё 3 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 80$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 9. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота $BK$ к основанию $AC$ является медианой, поэтому $KC = \dfrac{AC}{2} = 40$.$$KC = \frac{80}{2} = 40$$
- 2
Введём координаты: $K(0,0)$, $B(0,9)$, $C(40,0)$. Так как $P$ — середина $BC$, его координаты равны:$$P\left(\frac{0+40}{2},\frac{9+0}{2}\right)=(20,4{,}5)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 15$, $\cos A = 0{,}2$. Найдите высоту $CH$.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника найдём через катеты:$$S = \frac{1}{2}AC \cdot BC$$
- 2
Также площадь можно выразить через гипотенузу $AB$ и высоту $CH$:$$S = \frac{1}{2}AB \cdot CH$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 40$, $\tg A = \dfrac{9}{8}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам: $\dfrac{AC}{2} = 20$.$$AM = MC = 20$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ выразим высоту через тангенс угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{20} = \dfrac{9}{8}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 21^\circ$ и $\angle BDC = 110^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $BDA$ и $BDC$ составляют угол $ADC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 21^\circ + 110^\circ = 131^\circ$$
- 2
Поскольку в трапеции $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, она является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 131^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности радиусом $\sqrt{10}$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите длину хорды $BC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Найдём диаметр окружности.$$AB = 2R = 2\sqrt{10}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{6}$, $BC = 24$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Для угла $B$ тангенс равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 24 \cdot \dfrac{5}{6} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 6$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Поэтому $AM=MC=3$.
- 2
Обозначим $AH=x$. Тогда $MH=x-3$, а $HC=6-x$. Так как $BH$ — высота, треугольники $BHM$ и $BHC$ прямоугольные.
Ещё 3 шага — в полном решении
Объём конуса равен $49\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$49\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Составим отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4\pi\cdot 9^2}{4\pi\cdot 3^2} = \left(\dfrac{9}{3}\right)^2 = 9$$
Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi R^2$$
- 2
Найдём отношение площадей шаров с радиусами 5 и 1.$$\dfrac{S_\text{б}}{S_\text{м}} = \dfrac{4\pi\cdot 5^2}{4\pi\cdot 1^2} = 25$$
Даны два шара с радиусами 4 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Отношение площади большего шара к площади меньшего равно квадрату отношения их радиусов:$$\frac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4$$
Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного конуса.$$k=\dfrac{h_1}{h}=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_1=V\cdot k^3=135\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=5$$
Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 12. На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $P$ — их середины. Найдите объём пирамиды $B_1BKP$.
- 1
Так как $K$ и $P$ — середины рёбер куба, получаем $BK=BP=\dfrac{12}{2}=6$. Рёбра $AB$ и $BC$ перпендикулярны, поэтому треугольник $BKP$ прямоугольный.$$S_{BKP}=\dfrac{1}{2}\cdot BK\cdot BP=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot6=18$$
- 2
Высота пирамиды $B_1BKP$ равна расстоянию от точки $B_1$ до плоскости основания $BKP$, то есть ребру куба $B_1B=12$.$$h=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi \cdot 3^2}{4\pi \cdot 1^2} = \frac{9}{1} = 9$$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 2, а объём параллелепипеда равен 112. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$7 \cdot 2 \cdot c = 112$$
- 2
Находим длину третьего ребра:$$c = \frac{112}{7 \cdot 2} = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей.$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго.$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 6}{\pi \cdot 3 \cdot 4} = \dfrac{30}{12} = 2{,}5$$