Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{4}$…

1. 1
   Найдём обратные величины заданных чисел:$$\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4,\quad \dfrac{1}{\frac{1}{5}}=5,\quad \dfrac{1}{1}=1$$
2. 2
   Подставим значения в формулу среднего гармонического:$$h=\left(\dfrac{4+5+1}{3}\right)^{-1}=\left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{10}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{17}$, $7$ и $9$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{17})^2+7^2+9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим сумму квадратов:$$q=\sqrt{\dfrac{17+49+81}{3}}=\sqrt{49}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логарифм с корнем в основании

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{3}} 9$.

1. 1
   Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа $3$.$$\sqrt{3}=3^{1/2},\quad 9=3^2$$
2. 2
   Применим свойство логарифма степеней.$$\log_{3^{1/2}}3^2=\frac{2}{1/2}=4$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{1-4x}=32$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени двойки:$$32=2^5$$
2. 2
   Основания степеней равны, поэтому приравниваем показатели:$$1-4x=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{x-11} = \dfrac{1}{9}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $3$:$$\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$x - 11 = -2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $8^{5+x}=64$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $8$:$$64=8^2$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$5+x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{7}\right)^{1-x}=49$.

1. 1
   Представим основание и правую часть уравнения как степени числа $7$:$$\left(\frac{1}{7}\right)^{1-x}=\left(7^{-1}\right)^{1-x}=7^{x-1},\quad 49=7^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$x-1=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-9}=\frac{1}{16}$.

1. 1
   Представим число $\frac{1}{16}$ как степень числа $\frac{1}{4}$.$$\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{4}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели.$$x-9=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{5x-6} \cdot 2^{1-4x} = 1$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$2^{5x-6} \cdot 2^{1-4x} = 2^{(5x-6)+(1-4x)} = 2^{x-5}$$
2. 2
   Получаем уравнение:$$2^{x-5}=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{0,3}(4x+11)+\log_{0,3}\frac{1}{5}=\log_{0,3}8$.

1. 1
   Объединим логарифмы в левой части по свойству суммы логарифмов.$$\log_{0,3}(4x+11)+\log_{0,3}\frac{1}{5}=\log_{0,3}\left(\frac{4x+11}{5}\right)$$
2. 2
   Так как основания логарифмов совпадают, приравняем их аргументы.$$\frac{4x+11}{5}=8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Степень с логарифмом

Найдите значение выражения $2^{3+\log_2 7}$.

1. 1
   Преобразуем степень суммы в произведение степеней.$$2^{3+\log_2 7}=2^3\cdot 2^{\log_2 7}$$
2. 2
   По определению логарифма $2^{\log_2 7}=7$, поэтому вычисляем значение выражения.$$2^3\cdot 7=8\cdot 7=56$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{x-6} = \dfrac{1}{25}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $5$:$$\dfrac{1}{25} = \dfrac{1}{5^2} = 5^{-2}$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней:$$x - 6 = -2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $2{,}1 \cdot 10^2 + 3{,}8 \cdot 10^3$.

1. 1
   Вычислим степени десяти и умножим на них десятичные числа.$$2{,}1 \cdot 10^2 + 3{,}8 \cdot 10^3 = 2{,}1 \cdot 100 + 3{,}8 \cdot 1000$$
2. 2
   Сложим полученные значения.$$210 + 3800 = 4010$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2{,}1 \cdot 10^2}{7 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Разделим числовые множители и степени десяти:$$\dfrac{2{,}1 \cdot 10^2}{7 \cdot 10^{-1}}=\dfrac{2{,}1}{7}\cdot\dfrac{10^2}{10^{-1}}$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{2{,}1}{7}\cdot 10^{2-(-1)}=0{,}3\cdot 10^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{(3^{-4})^2}{3^{-10}}$.

1. 1
   Возводим степень в степень: показатель степени умножается на показатель степени.$$(3^{-4})^2=3^{-8}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{3^{-8}}{3^{-10}}=3^{-8-(-10)}=3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упрощение выражения со степенями

Найдите значение выражения $6^{-4} \cdot \dfrac{6^3}{6^{-2}}$.

1. 1
   Объединим степени с основанием $6$, складывая показатели при умножении и вычитая показатели при делении.$$6^{-4} \cdot \dfrac{6^3}{6^{-2}} = 6^{-4+3-(-2)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-4+3-(-2)=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{5^{-6} \cdot 5^3}{5^{-5}}$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{5^{-6} \cdot 5^3}{5^{-5}}=5^{-6+3-(-5)}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени:$$-6+3-(-5)=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $ (0{,}01)^2 \cdot 10^5 : 4^{-2}$.

1. 1
   Представим десятичную дробь в виде степени десяти:$$0{,}01 = 10^{-2}$$
2. 2
   Вычислим произведение первых двух множителей:$$(0{,}01)^2 \cdot 10^5 = (10^{-2})^2 \cdot 10^5 = 10^{-4} \cdot 10^5 = 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{3}\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Объединим корни в один:$$\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{27\cdot3}=\sqrt{81}=9$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\dfrac{7}{3}\cdot9=21$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{18^{11}}{3^{12}\cdot 6^{10}}$.

1. 1
   Разложим числа $18$ и $6$ на простые множители.$$18=2\cdot3^2,\qquad 6=2\cdot3$$
2. 2
   Преобразуем числитель и знаменатель выражения.$$\dfrac{18^{11}}{3^{12}\cdot6^{10}}=\dfrac{(2\cdot3^2)^{11}}{3^{12}\cdot(2\cdot3)^{10}}=\dfrac{2^{11}\cdot3^{22}}{2^{10}\cdot3^{22}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении